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EQUAZIONI RAZIONALI FRATTE di secondo grado

 

Per comprendere  

 

Dopo aver visto, nelle precedenti lezioni, come si risolvono le EQUAZIONI RAZIONALI INTERE, ora ci occuperemo delle EQUAZIONI FRAZIONARIE.

Ricordiamo, ancora una volta che:

  • le equazioni RAZIONALI sono quelle che NON contengono l'INCOGNITA sotto il segno di RADICE;

  • le EQUAZIONI INTERE sono quelle che NON contengono l'INCOGNITA a DENOMINATORE della frazione;

  • le EQUAZIONI FRATTE sono quelle che contengono l'INCOGNITA a DENOMINATORE della frazione.

 

In questa lezione ci occuperemo in particolare delle EQUAZIONI RAZIONALI FRAZIONARIE, cioè di quelle equazioni che non contengono l'incognita sotto il segno di radice, ma contengono l'incognita al denominatore della frazione.

Esempio:

Equazione razionale fratta di secondo grado

Come vedremo in seguito questa equazione è riconducibile ad un'equazione di secondo grado in forma normale.

 

Per queste equazioni valgono le considerazioni che abbiamo già fatto parlando delle equazioni fratte di primo grado.

 

Per risolvere le equazioni frazionarie occorre LIBERARE l'equazione dai DENOMINATORI. Successivamente l'equazione va risolta come una equazione intera di secondo grado.

Tuttavia, nel LIBERARE l'equazione dai DENOMINATORI si deve moltiplicare ambedue i membri dell'equazione per una ESPRESSIONE CONTENENTE L'INCOGNITA.

Ora, il SECONDO PRINCIPIO DI EQUIVALENZA ci dice che MOLTIPLICANDO o DIVIDENDO entrambi i membri di una equazione per uno STESSO NUMERO diverso da zero o per una STESSA ESPRESSIONE che non possa annullarsi, si ottiene una equazione EQUIVALENTE a quella data.

Quindi, quando moltiplichiamo i due termini dell'equazione per l'espressione contenente l'incognita è necessario che tale espressione non si annulli.

Ciò significa che, UNA VOLTA TROVATA LA RADICE dobbiamo VERIFICARE CHE QUESTA NON ANNULLI L'ESPRESSIONE per la quale abbiamo moltiplicato i due termini dell'equazione.

 

Cerchiamo di capire meglio questo concetto tornando all'esempio precedente. 

Per prima cosa dobbiamo eseguire la somma indicata nel primo membro.

Il m.c.m. dei denominatori è 

(x-3) (2x-7).

 

Quindi avremo:

Equazione razionale fratta di secondo grado

 

Ora liberiamo il primo membro del denominatore. Per fare questo dobbiamo moltiplicare entrambi i membri dell'equazione per 

(x-3) (2x-7).

Questo prodotto deve essere, per quanto abbiamo detto in precedenza, diverso da zero.

 

Per la LEGGE DI ANNULLAMENTO DEL PRODOTTO un prodotto è uguale a zero quando uno dei due fattori è uguale a zero.

Quindi

(x-3) (2x-7) = 0

quando

(x-3) = 0     ovvero x = 3

oppure quando

(2x-7) = 0     ovvero x = 7/2.

 

Liberiamo l'espressione dai denominatori moltiplicando entrambi i membri per:

(x-3) (2x-7) = 0

avremo:

Soluzione di una equazione frazionaria razionale di secondo grado

 

Semplifichiamo

2x - 7 + x - 3 = 2 (x - 3) (2x - 7)

 

e ora eseguiamo le moltiplicazioni indicate a secondo membro:

 

2x - 7 + x - 3 = (2x - 6) (2x - 7)

2x - 7 + x - 3 = 4x2 - 14x - 12x + 42.

 

Portiamo a primo membro tutti i termini, cambiando di segno e, successivamente, sommiamo tra loro i termini simili:

-4x2 + 2x + x + 14x + 12x - 7  - 3 - 42 = 0

-4x2 + 29x - 52 = 0.

 

 

Ora risolviamo come una normale equazione di secondo grado completa.

 

Equazione di secondo grado razionale fratta

 

 

Una volta trovate le radici dobbiamo verificare che esse non siano uno dei valori che annullano l'espressione per la quale abbiamo moltiplicato i due membri dell'equazione.

Poiché le soluzioni trovate non sono né 3, né -7/2, esse rappresentano le radici della nostra equazione.

 

 

Facciamo un altro esempio.

Equazionie razionale fratta di secondo grado

In questo caso possiamo subito liberare l'equazione dai denominatori moltiplichiamo il primo e il secondo membro per il m.c.m. dei denominatori. Esso sarà:

 

(x+3) (x+1).

Questo prodotto deve essere, per quanto abbiamo detto in precedenza, diverso da zero.

 

Per la LEGGE DI ANNULLAMENTO DEL PRODOTTO un prodotto è uguale a zero quando uno dei due fattori è uguale a zero.

Quindi

(x+3) (x+1) = 0

quando

(x+3) = 0     ovvero x = -3

oppure quando

(x+1) = 0     ovvero x = -1.

 

Ora procediamo col risolvere la nostra equazione nei modi consueti

Equazione di secondo grado razionale fratta

 

In questo caso ci troviamo di fronte ad un'equazione spuria. La risolviamo nei modi consueti, ovvero mettendo in evidenza la x.

x (3x + 5) = 0.

Il prodotto si annulla quando

x = 0

oppure quando

3x + 5 = 0

ovvero 

3x = -5

quindi

x = -5/3.

 

Le radici trovate, 0 e -5/3,  sono diversi dai valori che annullano l'espressione per la quale abbiamo moltiplicato i due membri dell'equazione, che erano -3 e -1.

Quindi, i valori trovati, rappresentano la soluzione dell'equazione.

 

 

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