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RISOLUZIONE delle EQUAZIONI di SECONDO GRADO COMPLETE

 

Per comprendere  

 

Come abbiamo visto in una delle precedenti lezioni un'EQUAZIONE di SECONDO GRADO del tipo:

ax2 + bx + c = 0

si dice COMPLETA o RIDOTTA A FORMA NORMALE.

 

Prima di vedere come si risolve tale equazione, iniziamo con l'esaminare alcuni casi pratici.

Esempio:

4x2 + 8x + 4 = 16.

 

Possiamo notare che al primo membro abbiamo il QUADRATO di UN BINOMIO, esattamente di 2x +2.

Allora scriviamo:

(2x +2)2 = 16.

Per trovare il valore della x calcoliamo la RADICE QUADRATA del primo e del secondo membro. Avremo:

risoluzione equazione completa

 

Le soluzioni dell'equazione saranno:

2x + 2 = - 4

2x + 2 = + 4.

 

Risolviamo la prima di esse avremo:

2x + 2 = -4

2x = - 4 - 2

2x = -6

x = -6/2

x = -3.

 

Risolviamo la seconda di esse e avremo:

2x + 2 = +4

2x = + 4 -2

2x = +2

x = +2/2

x = 1.

 

Quindi le soluzioni della nostra equazione sono:

x1 = -3  e   x2 = 1.

 

 

Ora proviamo a risolvere questa equazione:

4x2 + 8x + 3 = 0.

 

Se al posto di 3 noi sostituiamo 4 - 1 avremo:

4x2 + 8x + 4 - 1 = 0.

 

In questo modo i primi tre termini dell'equazione sono il QUADRATO di UN BINOMIO, esattamente di 2x +2.

Allora scriviamo:

(2x +2)2 - 1 = 0

(2x +2)2 = 1.

 

Per trovare il valore della x calcoliamo la RADICE QUADRATA del primo e del secondo membro. Avremo:

risoluzione equazione completa

 

Le soluzioni dell'equazione saranno:

2x + 2 = - 1

2x + 2 = + 1.

 

Risolviamo la prima di esse avremo:

2x + 2 = -1

2x = - 1 - 2

2x = -3

x = -3/2.

 

Risolviamo la seconda di esse e avremo:

2x + 2 = +1

2x = +1 -2

2x = -1

x = -1/2.

 

Quindi le soluzioni della nostra equazione sono:

x1 = -3/2  e   x2 = -1/2.

 

Gli esempi fin qui visti ci permettono di comprendere che per risolvere una equazione di secondo grado completa dobbiamo cercare di TRASFORMARLA in una UGUAGLIANZA che vede a primo membro un il QUADRATO di un BINOMIO e a secondo membro un NUMERO.

 

Vediamo come possiamo applicare questa regola al caso generale. Data l'equazione:

ax2 + bx + c = 0

cerchiamo di trasformarla in una uguaglianza che abbia a primo membro il quadrato di un binomio e a secondo membro un numero.

Iniziamo col portare c a secondo membro

ax2 + bx = - c.

 

Moltiplichiamo entrambi i membri per 4a:

4a (ax2 + bx) = (- c) 4a

4a2x2 + 4abx = -4ac.

 

In questo modo il primo termine dell'equazione (4a2x2) è il quadrato di 2ax.

Il secondo termine dell'equazione (4abx) è il doppio prodotto tra 2ax e b. Quindi, al primo termine manca b2 per avere il quadrato di un binomio. Allora aggiungiamo a primo e secondo membro b2.

4a2x2 + 4abx + b2= b2- 4ac.

 

In questo modo, a primo membro abbiamo il quadrato di 2ax + b. Quindi, possiamo scrivere:

(2ax + b)2= b2- 4ac.

 

Poniamo sotto radice quadrata il primo e il secondo membro e avremo:

risoluzione equazione completa

 

Ora estraiamo la radice e risolviamo in modo da trovare la x. Avremo:

risoluzione equazione completa

 

Quella che abbiamo appena trovato si dice FORMULA RISOLUTIVA dell'equazione di secondo grado.

 

Quindi, data l'equazione 

ax2 + bx + c = 0

 

le sue soluzioni sono:

formula risolutiva equazione secondo grado

 

 

b2 - 4ac

prende il nome di DISCRIMINANTE. Di esso parleremo nella lezione successiva.

 

 

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Indice argomenti su equazioni di secondo grado ad una incognita

 

Per comprendere

Tutte le altre lezioni sulle equazioni di secondo grado ad una incognita

 

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