EQUAZIONI RAZIONALI FRATTE DI SECONDO GRADO LETTERALI
- Equazioni di secondo grado ad una incognita
- Risoluzione delle equazioni di secondo grado complete
- Equazioni spurie
- Equazioni razionali intere di secondo grado letterali
- Equazioni razionali fratte di secondo grado
- Equazioni determinate, indeterminate, impossibili
- Discriminante di un'equazione di secondo grado
Nelle lezioni precedenti abbiamo visto come si risolvono le equazioni di secondo grado intere numeriche, intere letterali e quelle fratte numeriche.
Ora vedremo come possiamo risolvere le EQUAZIONI di secondo grado RAZIONALI FRATTE LETTERALI che prendono anche il nome di EQUAZIONI di secondo grado RAZIONALI FRATTE PARAMETRICHE.
In pratica si tratta di equazioni di secondo grado nelle quali la x non si presenta sotto il segno di radice, si trova a denominatore di una frazione e dove sono presenti delle lettere che rappresentano delle costanti.
Per risolvere questo tipo di equazione bisogna tenere presente quanto abbiamo detto sia in merito alle equazioni frazionarie, che a quelle letterali.
In altre parole occorre LIBERARE l'equazione dai DENOMINATORI ponendo come condizione chel'ESPRESSIONE per la quale moltiplichiamo entrambi i membri dell'equazione sia diversa da zero.
Inoltre occorre studiare i VALORI CHE ASSUME l'equazione al variare della costante.
Esempio:
Nel nostro esempio la x è l'incognita e la a è una costante.
LIBERIAMO l'equazione DAL DENOMINATORE moltiplicando entrambi i membri per
ax - 1.
Il DENOMINATORE assume valore zero quando
ax - 1 = 0
ax = +1
x = 1/a.
Quindi le soluzioni che troveremo saranno accettabili se
x ≠ 1/a.
Ora moltiplichiamo entrambi i membri dell'equazione per
ax - 1.
Ci troviamo di fronte ad un'equazione spuria. Risolviamo mettendo in evidenza la x:
x (ax -2) = 0
ovvero
x = 0
oppure
ax - 2 = 0
ax = 2
x = 2/a.
Entrambe le soluzioni sono accettabili essendo
x ≠ 1/a.
Ora esaminiamo cosa accade se
a = 0.
In questo caso avremo:
ax = 2
0x = 2.
Quindi, In questo caso l'equazione è IMPOSSIBILE perché non esiste nessun numero che, moltiplicato per 0, dia 2.
Vediamo un altro esempio:
Eseguiamo la somma indicata a primo membro:
Liberiamo l'equazione dai denominatori moltiplicando, primo e secondo membro, per il m.c.d., ovvero per
2x (a+x).
Ovviamente dovremo porre come condizione che
2x (a+x) ≠ 0.
Il che è vero quando
x ≠ 0
e quando
a+x ≠ 0
ovvero
x ≠ -a.
Ora eseguiamo la moltiplicazione:
2x2 +2a2 +2x2+ 4ax = 5x (a+x)
2x2 +2a2 +2x2+ 4ax = 5ax + 5x2
2x2 +2a2 +2x2+ 4ax - 5ax - 5x2 = 0
-x2 - ax +2a2 = 0.
Entrambe le soluzioni sono accettabili essendo
x ≠ 0
e
x ≠ -a.
Esaminiamo, ora il DISCRIMINANTE dell'equazione. Esso è
9a2.
Trattandosi di un quadrato esso è sempre maggiore di zero, qualunque valore assume a, e la nostra equazione ammette sempre due soluzioni distinte.
