EQUAZIONI RAZIONALI FRATTE di secondo grado LETTERALI

 

Per comprendere  

 

Nelle lezioni precedenti abbiamo visto come si risolvono le equazioni di secondo grado intere numeriche, intere letterali e quelle fratte numeriche.

Ora vedremo come possiamo risolvere le EQUAZIONI di secondo grado RAZIONALI FRATTE LETTERALI che prendono anche il nome di EQUAZIONI di secondo grado RAZIONALI FRATTE PARAMETRICHE.

In pratica si tratta di equazioni di secondo grado nelle quali la x non si presenta sotto il segno di radice, si trova a denominatore di una frazione e dove sono presenti delle lettere che rappresentano delle costanti.

 

Per risolvere questo tipo di equazione bisogna tenere presente quanto abbiamo detto sia in merito alle equazioni frazionarie, che a quelle letterali.

In altre parole occorre LIBERARE l'equazione dai DENOMINATORI ponendo come condizione che l'ESPRESSIONE per la quale moltiplichiamo entrambi i membri dell'equazione sia diversa da zero.

Inoltre occorre studiare i VALORI CHE ASSUME l'equazione al variare della costante.

 

Esempio:

Equazione di secondo grado frazionaria letterale

Nel nostro esempio la x l'incognita e la a una costante.

 

LIBERIAMO l'equazione DAL DENOMINATORE moltiplicando entrambi i membri per 

ax - 1.

Il DENOMINATORE assume valore zero quando 

ax - 1 = 0

ax = +1

x = 1/a.

 

Quindi le soluzioni che troveremo saranno accettabili se

x 1/a.

 

 

Ora moltiplichiamo entrambi i membri dell'equazione per 

ax - 1.

 

Equazione di secondo grado frazionaria letterale

Ci troviamo di fronte ad un'equazione spuria. Risolviamo mettendo in evidenza la x:

x (ax -2) = 0

ovvero

x = 0

oppure

ax - 2 = 0

ax = 2

x = 2/a.

 

Entrambe le soluzioni sono accettabili essendo 

x 1/a.

 

Ora esaminiamo cosa accade se 

a = 0.

 

In questo caso avremo:

ax = 2

0x = 2.

 

Quindi, In questo caso l'equazione IMPOSSIBILE perch non esiste nessun numero che, moltiplicato per 0, dia 2.

 

Vediamo un altro esempio:

 

Equazione di secondo grado frazionaria letterale

 

Eseguiamo la somma indicata a primo membro:

 

Equazione di secondo grado frazionaria letterale

 

Liberiamo l'equazione dai denominatori moltiplicando, primo e secondo membro, per il m.c.d., ovvero per

2x (a+x). 

 

Ovviamente dovremo porre come condizione che

2x (a+x) ≠ 0.

Il che vero quando

x 0

e quando

a+x ≠ 0

ovvero

x -a.

Ora eseguiamo la moltiplicazione:

Equazione di secondo grado frazionaria letterale

 

 

2x2 +2a2 + 2x2+ 4ax = 5x (a+x)

2x2 +2a2 + 2x2+ 4ax = 5ax + 5x2

2x2 +2a2 + 2x2+ 4ax - 5ax - 5x2 = 0

-x2 - ax +2a2 = 0.

 

Equazione di secondo grado frazionaria letterale

 

Entrambe le soluzioni sono accettabili essendo 

x 0

e

x -a.

 

Esaminiamo, ora il DISCRIMINANTE dell'equazione. Esso

9a2.

Trattandosi di un quadrato esso sempre maggiore di zero, qualunque valore assume a, e la nostra equazione ammette sempre due soluzioni distinte.

 

 

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