EQUAZIONI FRAZIONARIE NUMERICHE

Per comprendere meglio questo argomento, leggi prima le seguenti lezioni:
 

Dopo aver visto, nelle precedenti lezioni, come si risolvono le EQUAZIONI INTERE sia esse NUMERICHE che LETTERALI, ora ci occuperemo delle EQUAZIONI FRAZIONARIE.

Ricordiamo, ancora una volta che:

  • le EQUAZIONI INTERE sono quelle che NON contengono l'INCOGNITA a DENOMINATORE della frazione;
  • le EQUAZIONI FRATTE sono quelle che contengono l'INCOGNITA a DENOMINATORE della frazione.

In questa lezione ci occuperemo in particolare delle EQUAZIONI FRAZIONARIE NUMERICHE, cioè di quelle equazioni frazionarie che non contengono altre lettere oltre all'incognita.

Esempio:

Equazioni frazionarie numeriche



Questo tipo di equazioni si risolvono come le equazioni numeriche intere. Quindi:

  1. Si LIBERA l'equazione dai DENOMINATORI.
  2. Si eseguono le eventuali POTENZE e i PRODOTTI indicati.
  3. Si PORTANO a PRIMO MEMBRO tutti i TERMINI CHE CONTENGONO L'INCOGNITA e si portano a SECONDO MEMBRO tutti i TERMINI NOTI.
  4. Si RIDUCONO i TERMINI SIMILI, cioè si sommano tra loro i termini che contengono le incognite e si sommano tra loro i termini noti.
  5. Una volta che l'equazione è RIDOTTA A FORMA NORMALE non resta che DIVIDERE il TERMINE NOTO per il COEFFICIENTE dell'incognita.

Di queste fasi l'unica che presenta delle caratteristiche particolari è la prima.

Infatti, per LIBERARE l'equazione dai DENOMINATORI si deve moltiplicare ambedue i membri dell'equazione per una ESPRESSIONE CONTENENTE L'INCOGNITA.



Ora, il SECONDO PRINCIPIO DI EQUIVALENZA ci dice che MOLTIPLICANDO o DIVIDENDO entrambi i membri di una equazione per uno STESSO NUMERO diverso da zero o per una STESSA ESPRESSIONE che non possa annullarsi, si ottiene una equazione EQUIVALENTE a quella data.



Quindi, quando moltiplichiamo i due termini dell'equazione per l'espressione contenente l'incognita è necessario che tale espressione non si annulli.



Ciò significa che, UNA VOLTA TROVATA LA RADICE dobbiamo VERIFICARE CHE QUESTA NON ANNULLI L'ESPRESSIONE per la quale abbiamo moltiplicato i due termini dell'equazione.



Cerchiamo di capire meglio questo concetto tornando all'esempio precedente.

Per liberare l'equazione dai denominatori moltiplichiamo il primo e il secondo membro per il m.c.m. dei denominatori. Esso sarà:

(x+1) (x+2).

Questo prodotto deve essere, per quanto abbiamo detto in precedenza, diverso da zero.

Per la LEGGE DI ANNULLAMENTO DEL PRODOTTO un prodotto è uguale a zero quando uno dei due fattori è uguale a zero.

Quindi

(x+1) (x+2) = 0

quando

(x+1) = 0 ovvero x = -1

oppure quando

(x+2) = 0 ovvero x = -2.



Ora procediamo col risolvere la nostra equazione nei modi consueti:

Equazioni frazionarie numeriche

Una volta trovata la radice dobbiamo verificare che essa non sia uno dei valori che annullano l'espressione per la quale abbiamo moltiplicato i due membri dell'equazione.

Poiché la soluzione trovata non è né -1, né -2, essa rappresenta la radice della nostra equazione.



Facciamo un altro esempio.

Equazioni frazionarie numeriche



Per liberare l'equazione dai denominatori moltiplichiamo il primo e il secondo membro per il m.c.m. dei denominatori. Esso sarà:

(x+2) (x-2).

Questo prodotto deve essere, per quanto abbiamo detto in precedenza, diverso da zero.

Per la LEGGE DI ANNULLAMENTO DEL PRODOTTO un prodotto è uguale a zero quando uno dei due fattori è uguale a zero.

Quindi

(x+2) (x-2) = 0

quando

(x+2) = 0 ovvero x = -2

oppure quando

(x-2) = 0 ovvero x = +2.



Ora procediamo col risolvere la nostra equazione nei modi consueti

Equazioni frazionarie numeriche



La radice trovata 2 è proprio uno dei valori che annullano l'espressione per la quale abbiamo moltiplicato i due membri dell'equazione.

Essa quindi rappresenta la soluzione dell'equazione

Equazioni frazionarie numeriche

ma non dell'equazione di partenza.

Per verificarlo potete provare a sostituire 2 all'equazione data inizialmente.



 
Per approfondire questo argomento, leggi:
 
 
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