EQUAZIONI FRAZIONARIE NUMERICHE
- Identità ed equazioni
- Radici di una equazione
- Come si risolve una equazione di primo grado in una incognita
- Secondo principio di equivalenza delle equazioni
- Minimo comune denominatore
- Moltiplicazione
Dopo aver visto, nelle precedenti lezioni, come si risolvono le EQUAZIONI INTERE sia esse NUMERICHE che LETTERALI, ora ci occuperemo delle EQUAZIONI FRAZIONARIE.
Ricordiamo, ancora una volta che:
- le EQUAZIONI INTERE sono quelle che NON contengono l'INCOGNITA a DENOMINATORE della frazione;
- le EQUAZIONI FRATTE sono quelle che contengono l'INCOGNITA a DENOMINATORE della frazione.
In questa lezione ci occuperemo in particolare delle EQUAZIONI FRAZIONARIE NUMERICHE, cioè di quelle equazioni frazionarie che non contengono altre lettere oltre all'incognita.
Esempio:
Questo tipo di equazioni si risolvono come le equazioni numeriche intere. Quindi:
- Si LIBERA l'equazione dai DENOMINATORI.
- Si eseguono le eventuali POTENZE e i PRODOTTI indicati.
- Si PORTANO a PRIMO MEMBRO tutti i TERMINI CHE CONTENGONO L'INCOGNITA e si portano a SECONDO MEMBRO tutti i TERMINI NOTI.
- Si RIDUCONO i TERMINI SIMILI, cioè si sommano tra loro i termini che contengono le incognite e si sommano tra loro i termini noti.
- Una volta che l'equazione è RIDOTTA A FORMA NORMALE non resta che DIVIDERE il TERMINE NOTO per il COEFFICIENTE dell'incognita.
Di queste fasi l'unica che presenta delle caratteristiche particolari è la prima.
Infatti, per LIBERARE l'equazione dai DENOMINATORI si deve moltiplicare ambedue i membri dell'equazione per una ESPRESSIONE CONTENENTE L'INCOGNITA.
Ora, il SECONDO PRINCIPIO DI EQUIVALENZA ci dice che MOLTIPLICANDO o DIVIDENDO entrambi i membri di una equazione per uno STESSO NUMERO diverso da zero o per una STESSA ESPRESSIONE che non possa annullarsi, si ottiene una equazione EQUIVALENTE a quella data.
Quindi, quando moltiplichiamo i due termini dell'equazione per l'espressione contenente l'incognita è necessario che tale espressione non si annulli.
Ciò significa che, UNA VOLTA TROVATA LA RADICE dobbiamo VERIFICARE CHE QUESTA NON ANNULLI L'ESPRESSIONE per la quale abbiamo moltiplicato i due termini dell'equazione.
Cerchiamo di capire meglio questo concetto tornando all'esempio precedente.
Per liberare l'equazione dai denominatori moltiplichiamo il primo e il secondo membro per il m.c.m. dei denominatori. Esso sarà:
(x+1) (x+2).
Questo prodotto deve essere, per quanto abbiamo detto in precedenza, diverso da zero.
Per la LEGGE DI ANNULLAMENTO DEL PRODOTTO un prodotto è uguale a zero quando uno dei due fattori è uguale a zero.
Quindi
(x+1) (x+2) = 0
quando
(x+1) = 0 ovvero x = -1
oppure quando
(x+2) = 0 ovvero x = -2.
Ora procediamo col risolvere la nostra equazione nei modi consueti:
Una volta trovata la radice dobbiamo verificare che essa non sia uno dei valori che annullano l'espressione per la quale abbiamo moltiplicato i due membri dell'equazione.
Poiché la soluzione trovata non è né -1, né -2, essa rappresenta la radice della nostra equazione.
Facciamo un altro esempio.
Per liberare l'equazione dai denominatori moltiplichiamo il primo e il secondo membro per il m.c.m. dei denominatori. Esso sarà:
(x+2) (x-2).
Questo prodotto deve essere, per quanto abbiamo detto in precedenza, diverso da zero.
Per la LEGGE DI ANNULLAMENTO DEL PRODOTTO un prodotto è uguale a zero quando uno dei due fattori è uguale a zero.
Quindi
(x+2) (x-2) = 0
quando
(x+2) = 0 ovvero x = -2
oppure quando
(x-2) = 0 ovvero x = +2.
Ora procediamo col risolvere la nostra equazione nei modi consueti
La radice trovata 2 è proprio uno dei valori che annullano l'espressione per la quale abbiamo moltiplicato i due membri dell'equazione.
Essa quindi rappresenta la soluzione dell'equazione
ma non dell'equazione di partenza.
Per verificarlo potete provare a sostituire 2 all'equazione data inizialmente.
