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PROPRIETA' della DIFFERENZA di due INSIEMI

 

Per approfondire  

 

Sappiamo che dati due insiemi A e B, si chiama DIFFERENZA di A e B l'insieme C degli ELEMENTI che APPARTENGONO ad A e che NON APPARTENGONO a B

In simboli scriveremo:

C = A - B

che si legge

C uguale A meno B.

 

Questa nozione di DIFFERENZA è spesso denominata anche DIFFERENZA SEMPLICE per differenziarla dalla DIFFERENZA SIMMETRICA di due insiemi.

Dimostriamo ora le proprietà della DIFFERENZA SEMPLICE di insiemi.

 

Se 

Se A intersecato B è uguale all'insieme vuoto allora A meno B è uguale all'insieme A

Se A intersecato B è uguale all'insieme vuoto allora A meno B è uguale all'insieme A.

 

Dire che A intersecato B è uguale all'insieme vuoto significa dire che il generico elemento a o appartiene ad A, o appartiene a B o non appartiene a nessuno dei due: ma non potrà appartenere ad entrambi.

Quindi la nostra tabella di appartenenza sarà:

 

A B A - B
appartiene non appartiene appartiene
non appartiene appartiene non appartiene
non appartiene non appartiene non appartiene

 

Come possiamo notare le due colonne evidenziate in giallo sono identiche, quindi possiamo dire che se A e B sono due insiemi disgiunti allora A - B è uguale ad A.

 

 

Allo stesso modo avremo:

Se A intersecato B è uguale all'insieme vuoto allora B meno A è uguale a B

Se A intersecato B è uguale all'insieme vuoto allora B meno A è uguale all'insieme B.

Dire che A intersecato B è uguale all'insieme vuoto significa dire il generico elemento a o appartiene ad A, o appartiene a B o non appartiene a nessuno dei due: ma non potrà appartenere ad entrambi.

Quindi la nostra tabella di appartenenza sarà:

 

A B B - A
appartiene non appartiene non appartiene
non appartiene appartiene appartiene
non appartiene non appartiene non appartiene

 

Come possiamo notare le due colonne evidenziate in giallo sono identiche, quindi possiamo dire che se A e B sono due insiemi disgiunti allora B - A è uguale a B.

 

Se

Se B è sottoinsieme di A allora B meno A è uguale a all'insieme vuoto

Se B è sottoinsieme (proprio) di A allora B - A è uguale all'insieme vuoto.

 

Se B è un sottoinsieme proprio di A significa che, se il generico elemento a appartiene a B esso appartiene anche ad A, mentre ci saranno elementi di A che non appartengono a B.

Quindi la nostra tabella di appartenenza sarà:

 

A B B - A
appartiene appartiene non appartiene
appartiene non appartiene non appartiene
non appartiene non appartiene non appartiene

 

Come possiamo notare B - A è l'insieme vuoto.

 

Infine, l'unione tra la differenza A e B e la differenza B e A è uguale alla differenza tra l' unione A e B e l'intersezione A e B.

Proprietà della differenza di insiemi

 

A B A - B B -A  Unione tra A-B e B-A A unito B A intersecato B differenza tra A unito B e A intersecato B
appartiene appartiene non appartiene non appartiene non appartiene appartiene appartiene non appartiene
appartiene non appartiene appartiene non appartiene appartiene appartiene non appartiene appartiene
non appartiene appartiene non appartiene appartiene appartiene appartiene non appartiene appartiene
non appartiene non appartiene non appartiene non appartiene non appartiene non appartiene non appartiene non appartiene

 

Come possiamo notare le due colonne evidenziate in giallo  sono identiche.

 

 

 

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