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PROPRIETA' della DIFFERENZA SIMMETRICA

 

Per approfondire  

 

In un precedente approfondimento abbiamo detto che, dati due insiemi A e B, si chiama DIFFERENZA SIMMETRICA tra A e B l'insieme C degli ELEMENTI che APPARTENGONO ad A OPPURE  APPARTENGONO a B, ma NON APPARTENGONO AD ENTRAMBI.

In simboli scriveremo:

C uguale A differenza simmetrica B

che si legge

C uguale differenza simmetrica tra A e B.

 

Vediamo ora quali sono le PROPRIETA' DI CUI GODE la DIFFERENZA SIMMETRICA e cerchiamo di dare una loro dimostrazione.

Per fare ciò costruiamo una serie di tabelle nelle quali, le prime due colonne riportano le quattro diverse situazioni che si possono verificare rispetto ad un generico elemento a.

Esso può:

  1. appartenere ad entrambi gli insiemi;

  2. appartenere all'insieme A e non appartenere all'insieme B;

  3. non appartenere all'insieme A e appartenere all'insieme B;

  4. non appartenere a nessuno dei due insiemi.

 

Quindi le prime due colonne della nostra tabella si presenteranno così:

A B
appartiene appartiene
appartiene non appartiene
non appartiene appartiene
non appartiene non appartiene

 

Vediamo, allora, di quali PROPRIETA' gode la DIFFERENZA SIMMETRICA di due insiemi.

 

PROPRIETA' COMMUTATIVA:

proprietà commutativa della differenza simmetrica

Costruiamo la nostra tabella ricordando che la differenza simmetrica di due insieme è l'insieme formato dagli elementi che appartengono ad A oppure appartengono a  B, ma NON APPARTENGONO AD ENTRAMBI.

 

A B differenza simmetrica tra A e B differenza simmetrica tra B e A
appartiene appartiene non appartiene non appartiene
appartiene non appartiene appartiene appartiene
non appartiene appartiene appartiene appartiene
non appartiene non appartiene non appartiene non appartiene

Come possiamo notare le ultime due colonne  sono identiche, quindi possiamo dire che la differenza simmetrica tra A e B è uguale alla differenza simmetrica tra B e A.

 

 

 

PROPRIETA' ASSOCIATIVA:

proprietà associativa della differenza simmetrica

Costruiamo la nostra tabella. Qui dovremo inserire anche una colonna per indicare l'appartenenza o meno del generico elemento a all'insieme C.  Quindi si possono avere 8 diverse situazioni.

A B C differenza simmetrica tra A e B Differenza simmetrica differenza simmetrica tra B e C differenza simmetrica
appartiene appartiene appartiene non appartiene appartiene non appartiene appartiene
appartiene appartiene non appartiene non appartiene non appartiene appartiene non appartiene
appartiene non appartiene appartiene appartiene non appartiene appartiene non appartiene
appartiene non appartiene non appartiene appartiene appartiene non appartiene appartiene
non appartiene appartiene appartiene appartiene non appartiene non appartiene non appartiene
non appartiene appartiene non appartiene appartiene appartiene appartiene appartiene
non appartiene non appartiene appartiene non appartiene appartiene appartiene appartiene
non appartiene non appartiene non appartiene non appartiene non appartiene non appartiene non appartiene

 

Come possiamo notare le colonne evidenziate col colore giallo sono identiche, quindi la differenza simmetrica gode della proprietà associativa.

 

 

PROPRIETA' TRANSITIVA:

proprietà transitiva della differenza simmetrica

Costruiamo la nostra tabella. 

 

A B C differenza simmetrica tra A e B differenza simmetrica tra B e C differenza simmetrica differenza simmetrica tra A e C
appartiene appartiene appartiene non appartiene non appartiene non appartiene non appartiene
appartiene appartiene non appartiene non appartiene appartiene appartiene appartiene
appartiene non appartiene appartiene appartiene appartiene non appartiene non appartiene
appartiene non appartiene non appartiene appartiene non appartiene appartiene appartiene
non appartiene appartiene appartiene appartiene non appartiene appartiene appartiene
non appartiene appartiene non appartiene appartiene appartiene non appartiene non appartiene
non appartiene non appartiene appartiene non appartiene appartiene appartiene appartiene
non appartiene non appartiene non appartiene non appartiene non appartiene non appartiene non appartiene

 

Come possiamo notare le colonne evidenziate col colore giallo sono identiche, quindi la differenza simmetrica gode della proprietà transitiva.

 

 

 

Ricordiamo anche che l'INTERSEZIONE gode della PROPRIETA' DISTRIBUTIVA RISPETTO ALLA DIFFERENZA SIMMETRICA:

 

proprietà distributiva dell'intersezione rispetto alla differenza simmetrica

Costruiamo la nostra tabella ricordando che l'intersezione di due insieme è l'insieme degli ELEMENTI COMUNI ad entrambi, quindi il generico elemento a appartiene all'insieme intersezione sono se esso appartiene ad entrambi gli insiemi sui quali si sta operando.

A B C differenza simmetrica tra B e C A interesecato con la differenza simmetrica tra B e C A intersecato B A intersecato C differenza simmetrica tra A intersecato B e A intersecato C
appartiene appartiene appartiene non appartiene non appartiene appartiene appartiene non appartiene
appartiene appartiene non appartiene appartiene appartiene appartiene non appartiene appartiene
appartiene non appartiene appartiene appartiene appartiene non appartiene appartiene appartiene
appartiene non appartiene non appartiene non appartiene non appartiene non appartiene non appartiene non appartiene
non appartiene appartiene appartiene non appartiene non appartiene non appartiene non appartiene non appartiene
non appartiene appartiene non appartiene appartiene non appartiene non appartiene non appartiene non appartiene
non appartiene non appartiene appartiene appartiene non appartiene non appartiene non appartiene non appartiene
non appartiene non appartiene non appartiene non appartiene non appartiene non appartiene non appartiene non appartiene

 

Anche in questo caso le colonne evidenziate col colore giallo sono identiche, quindi possiamo dire che A intersecato con la differenza simmetrica di B e C è uguale alla differenza simmetrica tra A intersecato B e A intersecato C.

 

Infine notiamo che la DIFFERENZA SIMMETRICA tra l'insieme A e l'INSIEME VUOTO è A dato che stiamo cercando l'insieme degli ELEMENTI che APPARTENGONO ad A OPPURE  APPARTENGONO all'insieme vuoto, ma NON APPARTENGONO AD ENTRAMBI e dato che l'insieme vuoto è privo di elementi. Quindi nessuno degli elementi di A appartiene anche all'insieme vuoto che d'altra parte è privo di elementi e, quindi, nessuno dei suoi elementi appartiene ad A:

 

La differenza simmetrica tra A e l'insieme vuoto è uguale ad A

 

La differenza simmetrica tra A e se stesso è l'insieme vuoto, dato che tutti gli elementi del primo insieme appartengono anche al secondo insieme:

La differenza simmetrica tra A e se stesso è l'insieme vuoto

Quindi possiamo affermare che la DIFFERENZA SIMMETRICA NON gode della proprietà dell'IDEMPOTENZA, tipo: 

 

 

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