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PROPRIETA' DELLA DIFFERENZA  di due INSIEMI

 

Per comprendere  

 

Vediamo di quali PROPRIETA' gode la DIFFERENZA DI DUE INSIEMI.

 

  1. Se 

Se A intersecato B è uguale all'insieme vuoto allora A meno B è uguale ad A

Se A intersecato B è uguale all'insieme vuoto allora A meno B è uguale all'insieme A.

 

Dire che A intersecato B è uguale all'insieme vuoto significa dire che i due insiemi sono DISGIUNTI, cioè che non hanno nessun elemento comune.

Ma se A e B non hanno alcun elemento comune A - B sarà uguale ad A dato che la DIFFERENZA di A e B è l'insieme degli ELEMENTI che APPARTENGONO ad A e che NON APPARTENGONO a B

 

Allo stesso modo avremo:

Se A intersecato B è uguale all'insieme vuoto allora B meno A è uguale a B

Se A intersecato B è uguale all'insieme vuoto allora B meno A è uguale all'insieme B.

 

Se A e B non hanno alcun elemento comune B - A sarà uguale a B dato che la DIFFERENZA di B e A è l'insieme degli ELEMENTI che APPARTENGONO a B e che NON APPARTENGONO ad A

 

  1. Se

Se B è sottoinsieme di A allora B meno A è uguale a all'insieme vuoto

Se B è sottoinsieme (proprio) di A allora B - A è uguale all'insieme vuoto.

 

Se B è un sottoinsieme proprio di A significa che OGNI ELEMENTO di B è ANCHE ELEMENTO di A, ma non viceversa.

La DIFFERENZA di B e A è l'insieme degli ELEMENTI che APPARTENGONO a B ma che NON APPARTENGONO ad A. Ma se tutti gli elementi di B sono anche elementi di A la differenza tra i due insiemi è l'insieme vuoto.

 

Abbiamo parlato di SOTTOINSIEME PROPRIO. 

Vediamo cosa cambia se B è un SOTTOINSIEME IMPROPRIO di A.

Noi sappiamo che dato un insieme A esso ammette sempre DUE SOTTOINSIEMI IMPROPRI:

  • A STESSO;

  • l'INSIEME VUOTO { }.

Ora:

A meno A uguale l'insieme vuoto

 

mentre

 

A meno l'insieme vuoto uguale A

 

  1. Infine

Proprietà della differenza di insiemi

 

 

La differenza di due insiemi NON GODE:

  • della PROPRIETA' DELL'IDEMPOTENZA. Infatti

    A  meno A diverso da A

     

  • della PROPRIETA' COMMUTATIVA. Infatti:

A  meno B diverso da B meno A

 

Esempio:

 

A = {1, 2, 5, 6, 8 ,10}

B = {2, 6, 7, 9}

A - B = {1, 5, 8 ,10}

B - A = {7, 9}.

 

 

Per una dimostrazione di queste proprietà si legga Proprietà della differenza di due insiemi.

 

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