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DIFFERENZA SIMMETRICA

 

Per approfondire  

 

In una precedente lezione abbiamo parlato della DIFFERENZA tra due INSIEMI

Dati due insiemi A e B, si chiama DIFFERENZA di A e B, in questo ordine, l'insieme C degli ELEMENTI che APPARTENGONO ad A e che NON APPARTENGONO a B

In simboli scriveremo:

C uguale A meno B

oppure

C uguale A meno B

che si legge

C uguale A meno B.

 

Quella che abbiamo appena definito viene detta, a volte, anche DIFFERENZA SEMPLICE per distinguerla dalla DIFFERENZA SIMMETRICA.

 

Dati due insiemi A e B, si chiama DIFFERENZA SIMMETRICA tra A e B l'insieme C degli ELEMENTI che APPARTENGONO ad A OPPURE  APPARTENGONO a B, ma NON APPARTENGONO AD ENTRAMBI.

In simboli scriveremo:

C uguale A differenza simmetrica B

che si legge

C uguale differenza simmetrica tra A e B.

 

Vediamo come possiamo l'illustrare graficamente la DIFFERENZA SIMMETRICA tramite i DIAGRAMMI DI VENN.

 

La DIFFERENZA SIMMETRICA tra A e B è l'insieme degli ELEMENTI che APPARTENGONO ad A OPPURE  APPARTENGONO a B, ma NON APPARTENGONO AD ENTRAMBI.

Con il colore azzurro abbiamo indicato gli elementi che appartengono ad A, ma non appartengono a B.

Con il colore arancio abbiamo indicato gli elementi che appartengono a B, ma non appartengono ad A.

 

Differenza simmetrica tra A e B

L'insieme che esprime la DIFFERENZA SIMMETRICA tra A e B l'abbiamo riportata nel diagramma di Venn qui a lato con il colore giallo.

Differenza simmetrica tra A e B

 

 

Esistono vari modi per esprimere in simboli l'operazione di DIFFERENZA SIMMETRICA

A differenza simmetrica B

che si legge

La differenza simmetrica tra A e B è uguale all'insieme delle x tali che x appartiene ad A e non appartiene a B o x appartiene a B e non appartiene ad A.

 

Notiamo che le x che appartengono ad A, ma non appartengono a B sono quelle che formano l'insieme 

A - B.

Mentre le x che appartengono a B, ma non appartengono ad A sono quelle che formano l'insieme 

B - A.

L'insieme degli elementi che appartengono a

(A - B) oppure a (B - A)

non sono altro che

(A -B) unito con (B - A)

Quindi un altro modo per indicare la DIFFERENZA SIMMETRICA tra A e B è:

Differenza simmetrica tra A e B = (A -B) unito con (B - A)

che si legge

La differenza simmetrica tra A e B è uguale alla differenza tra A e B unita con la differenza tra B e A.

 

Vediamo graficamente la situazione:

Differenza simmetrica tra A e B

 

 

Un ulteriore modo per esprime la DIFFERENZA SIMMETRICA tra A e B è il seguente:

Differenza simmetrica tra A e B = (A unito B) meno (A intersecato B)

che si legge

La differenza simmetrica tra A e B è uguale alla differenza tra l'unione di A con B e l'intersezione di A con B.

In quest'ultimo caso noi andiamo a prendere gli elementi che appartengono ad A e gli elementi che appartengono a B (unione di A con B). All'insieme così ottenuto sottraiamo l'insieme degli elementi comuni sia ad A che a B (intersezione di A con B).

Vediamo graficamente la situazione:

A unito B - A intersecato B = Differenza simmetrica tra A e B

 

 

Vediamo qualche esempio di DIFFERENZA SIMMETRICA di insiemi.

Esempio:

A = {1, 2, 5, 6, 8 ,10}

B = {2, 6, 7, 9}

Differenza simmetrica tra A e B

 

 

A = {a, l, b, e, r, o}

B = {a, r, t, o}

Differenza simmetrica tra A e B

 

In un prossimo approfondimento vedremo le proprietà della differenza simmetrica.

 

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