FUNZIONI GONIOMETRICHE PARI E DISPARI

Per comprendere meglio questo argomento, leggi prima le seguenti lezioni:
 

Una FUNZIONE si dice PARI se per qualsiasi x appartenente all'insieme dei numeri reali, vale la seguente relazione:

f(x) = f(-x).

Il GRAFICO di una funzione PARI è SIMMETRICO rispetto all'ASSE DELLE y.



Una funzione si dice DIPARI se per qualsiasi x appartenente all'insieme dei numeri reali, vale la seguente relazione:

f(x) = -f(-x).

Il GRAFICO di una funzione DIPARI è SIMMETRICO rispetto all'ORIGINE degli ASSI.



Fatta questa premessa vediamo quali funzioni goniometriche sono pari e quali dispari. Per comprenderlo possiamo seguire due strade:

  • vedere qual è il valore della funzione goniometrica dell'angolo α e dell'angolo , in altre parole si tratta di vedere il valore delle funzioni goniometriche di archi opposti;
  • vedere come si presenta il grafico della funzione goniometrica.



Partiamo dalla funzione SENO. Per essa vale la relazione:

sen (-α) = - sen α

quindi ci troviamo nel caso:

f(x) = -f (-x)

Di conseguenza possiamo dire che la funzione seno è una funzione DISPARI.

Verifichiamolo osservando anche il suo grafico:

Grafico della funzione seno

Notiamo che il grafico è simmetrico rispetto all'origine degli assi: a titolo di esempio si noti che, quando l'arco è pari a π/2 il seno vale 1, mentre quando l'arco è pari a -π/2 il seno vale -1.




Passiamo alla funzione COSENO. Per essa vale la relazione:

cos (-α) = cos α

quindi ci troviamo nel caso:

f(x) = f (-x)

Pertanto la funzione coseno è una funzione PARI.

Verifichiamolo osservando anche il suo grafico:

Grafico della funzione coseno

Notiamo che il grafico è simmetrico rispetto all'asse delle y: a titolo di esempio si noti che, quando l'arco è pari a π/2 il coseno vale 0 esattamente come quando l'arco è pari a -π/2.




Vediamo cosa accade con la funzione TANGENTE. Per essa vale la relazione:

tan (-α) = - tan α

quindi ci troviamo nel caso:

f(x) = -f (-x)

e possiamo dire che la funzione tangente è una funzione DISPARI.

Verifichiamolo con il grafico:

Grafico della funzione tangente

Notiamo che il grafico è simmetrico rispetto all'origine degli assi: a titolo di esempio si noti che, quando l'arco si avvicina a π/2 la tangente diventa infinitamente grande, mentre quando l'arco si avvicina a -π/2 la tangente diventa infinitamente piccola.




Proseguiamo con la funzione COTANGENTE. Per essa vale la relazione:

cotan (-α) = - cotan α

quindi ci troviamo nel caso:

f(x) = -f (-x)

Possiamo affermare, allora, che anche la funzione cotangente è una funzione DISPARI come ci mostra anche l'immagine sottostante in cui è evidente come il grafico della funzione cotangente è simmetrico rispetto all'origine degli assi:

Grafico della funzione cotangente

Proseguiamo con la funzione COSECANTE. Per essa vale la relazione:

cosec (-α) = - cosec α

ancora una volta ci troviamo di fronte al caso:

f(x) = -f (-x)

quindi ad una funzione DISPARI.

L'immagine sottostante ce lo conferma essendo il grafico della funzione cosecante simmetrico rispetto all'orgine degli assi:

Grafico della funzione cosecante




Concludiamo con la funzione SECANTE. Per essa vale la relazione:

sec (-α) = sec α

quindi ci troviamo nel caso:

f(x) = f (-x)

Pertanto la funzione secante è una funzione PARI.

Ce lo conferma anche il suo grafico:

Grafico della funzione coseno




Ricapitolando:

  • SENO, TANGENTE, COTANGENTE, COSECANTE, sono funzioni DISPARI;
  • COSENO e SECANTE sono funzioni PARI.

 
 
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