GRAFICO DELLA FUNZIONE SECANTE
Nelle lezioni precedenti abbiamo visto cosa si intende per SECANTE e come variano i valori della secante al variare dell'angolo α.
In questa lezione, invece, andremo a vedere come possiamo costruire il GRAFICO della FUNZIONE SECANTE.
Iniziamo col disegnare gli assi cartesiani e riportiamo:
- sull'asse delle ASCISSE i valori degli ANGOLI;
- sull'asse delle ORDINATE il corrispondente valore della SECANTE.
Affianchiamo agli assi cartesiani la circonferenza goniometrica al fine di rendere più facile la nostra costruzione.
Partiamo dall'angolo di ampiezza 0. Indichiamo l'angolo sugli assi cartesiani nel punto dell'origine. Quando l'angolo vale 0 la sua secante è data dal segmento OS il cui valore sappiamo essere 1: prendiamo il segmento OS e lo riportiamo in verticale sull'asse delle ordinate. Abbiamo trovato il primo punto della funzione secante.
Ora facciamo la stessa cosa con l'angolo di ampiezza π/6. Indichiamo l'ampiezza dell'angolo sull'asse delle ascisse. Disegniamo la secante e riportiamo il segmento OS, in verticale, sull'asse delle ordinate. Abbiamo trovato il secondo punto della funzione secante.
Proseguiamo con l'angolo di ampiezza π/4.
Andiamo avanti con l'angolo di ampiezza π/3.
Ora vendiamo cosa succede quando l'angolo ha un'ampiezza di π/2: la secante non è definita.
Proseguiamo allo stesso modo con altri angoli della circonferenza goniometrica e colleghiamo tra loro i punti individuati sugli assi cartesiani mediante una linea.
Quello che abbiamo disegnato è il GRAFICO della FUNZIONE SECANTE: in modo particolare si tratta della porzione del grafico della funzione secante per α compreso tra 0° e 180°.
Proseguendo nella costruzione del grafico vedremo che esso si presenta nel modo seguente:
Vediamo allora quali caratteristiche ha la funzione secante.
La prima osservazione che possiamo fare è che la funzione NON ASSUME mai i valori COMPRESI tra -1 e +1 ESCLUSI, cioè la funzione può assumere i valori -1 e +1, ma non quelli compresi tra essi.
All'origine degli assi essa assume valore +1, mentre quando l'angolo α ha un'ampiezza di π/2 la funzione secante NON è DEFINITA.
Vediamo ora cosa accade intorno al punto π/2:
- per valori inferiori a π/2, mano a mano che l'angolo si avvicina sempre più a questo valore, la secante tende a diventare sempre più grande.
Per questo diciamo che essa tende a
+∞ (che si legge più infinito);
- per valori superiori a π/2, mano a mano che l'angolo si avvicina sempre più a questo valore la secante tende a diventare
sempre più piccola. Per questo diciamo che essa tende a
-∞ (che si legge meno infinito).
Quando il valore dell'angolo α si avvicina a π/2 la secante si avvicina sempre più alla retta parallela all'asse delle y di equazione
x = π/2
che prende il nome di ASINTOTO VERTICALE del grafico.
La stessa cosa si verifica quando l'angolo α si avvicina a -π/2, a (3/2)π
Quindi possiamo dire che gli asintoti verticali sono le rette di equazione
x = π/2 + kπ
con k appartenente all'insieme Z, cioè all' insieme dei numeri interi relativi.
Il CODOMINIO della secante è dato dall'insieme dei numeri reali, esclusi i valori compresi tra -1 e +1. Il che si scrive nel modo seguente:
R - ]-1 , +1[
che si legge
insieme dei numeri reali R meno l'intervallo aperto -1 + 1
L'intervallo è aperto perché, come abbiamo avuto modo di dire, la funzione secante può assumere i valori -1 e +1.
Nella prossima lezione avremo modo di tornare nuovamente sul grafico della funzione secante.
