GRAFICO DELLA FUNZIONE COSECANTE

Per comprendere meglio questo argomento, leggi prima le seguenti lezioni:
 

Nelle lezioni precedenti abbiamo visto cosa si intende per COSECANTE e come variano i valori della cosecante al variare dell'angolo α.

In questa lezione, invece, andremo a vedere come possiamo costruire il GRAFICO della FUNZIONE COSECANTE.

Iniziamo col disegnare gli assi cartesiani e riportiamo:

  • sull'asse delle ASCISSE i valori degli ANGOLI;
  • sull'asse delle ORDINATE il corrispondente valore della COSECANTE.

Come al solito affianchiamo agli assi cartesiani la circonferenza goniometrica in modo da facilitare la costruzione del grafico della funzione.

Rappresentazione grafica della funzione cosecante


Partiamo dall'angolo di ampiezza 0. Indichiamo l'angolo sugli assi cartesiani nel punto dell'origine. Quando l'angolo vale 0 la sua cosecante, come abbiamo visto nella lezione precedente, non è definita.

Rappresentazione grafica della funzione cosecante


Passiamo a considerare l'angolo π/6. Indichiamo l'angolo sugli assi cartesiani. Disegniamo la cosecante e riportiamo il segmento OC sull'asse delle ordinate. Abbiamo trovato il primo punto della funzione cosecante.

Rappresentazione grafica della funzione cosecante


Ora andiamo a considerare l'angolo π/4. Indichiamo l'angolo sugli assi cartesiani. Disegniamo la cosecante e riportiamo il segmento OC sull'asse delle ordinate. Abbiamo trovato il secondo punto della funzione cosecante.

Rappresentazione grafica della funzione cosecante


Proseguiamo con altri angoli nella costruzione del grafico della funzione cosecante, che si presenterà nel modo seguente:

Rappresentazione grafica della funzione cosecante



Vediamo allora quali caratteristiche ha la funzione cosecante.

La prima osservazione che possiamo fare è che la funzione NON ASSUME mai i valori COMPRESI tra -1 e +1 ESCLUSI, cioè la funzione può assumere i valori -1 e +1, ma non quelli compresi tra essi.

Rappresentazione grafica della funzione cosecante



All'origine degli assi la funzione cosecante NON, è DEFINITA, mentre quando l'angolo α ha un'ampiezza di π/2 la funzione assume valore +1.

Vediamo ora cosa accade intorno al punto π:

  • per valori inferiori a π, mano a mano che l'angolo si avvicina sempre più a questo valore, la cosecante tende a diventare sempre più grande. Per questo diciamo che essa tende a +∞ (che si legge più infinito);

    Rappresentazione grafica della funzione tangente



  • per valori superiori a π, mano a mano che l'angolo si avvicina sempre più a questo valore la cosecante tende a diventare sempre più piccola. Per questo diciamo che essa tende a -∞ (che si legge meno infinito).

    Rappresentazione grafica della funzione tangente




Quando il valore dell'angolo α si avvicina a π la cosecante si avvicina sempre più alla retta parallela all'asse delle y di equazione

x = π

che prende il nome di ASINTOTO VERTICALE del grafico.


La stessa cosa si verifica quando l'angolo α si avvicina a 0 e a

Rappresentazione grafica della funzione tangente



Quindi possiamo dire che gli asintoti verticali sono le rette di equazione

x = 0 + kπ

con k appartenente all'insieme Z, cioè all'insieme dei numeri interi relativi.


Il CODOMINIO della cosecante è dato dall'insieme dei numeri reali, esclusi i valori compresi tra -1 e +1. Il che si scrive nel modo seguente:

R - ]-1 , +1[
che si legge
insieme dei numeri reali R meno l'intervallo aperto -1 + 1

L'intervallo è aperto perché, come abbiamo avuto modo di dire, la funzione cosecante può assumere i valori -1 e +1.


Nella prossima lezione avremo modo di tornare nuovamente sul grafico della funzione cosecante.

 
 
 
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