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SECONDO TEOREMA di EUCLIDE

 

 



Per comprendere  

 

Dopo aver visto, nella lezione precedente, il PRIMO TEOREMA DI EUCLIDE, ora ci occuperemo del SECONDO TEOREMA DI EUCLIDE.

Disegniamo un TRIANGOLO RETTANGOLO:

Secondo teorema di Euclide

 

 

Ora tracciamo l'ALTEZZA RELATIVA ALL'IPOTENUSA:

Secondo teorema di Euclide

 

L'altezza AH divide il triangolo ABC in due triangoli: AHC e AHB. Ora osserviamo tali triangoli:

 

Secondo teorema di Euclide

 

Notiamo che essi:

  • hanno ciascuno un ANGOLO RETTO: si tratta, in entrambi i casi dell'angolo H;

Secondo teorema di Euclide

 

  • hanno gli angoli  ACH e HAB COMPLEMENTARI dello stesso angolo CAHe quindi congruenti:

Secondo teorema di Euclide

 

 

Possiamo allora affermare che i due triangoli hanno DUE ANGOLI CONGRUENTI.

 

Noi sappiamo che, se in un triangolo due angoli sono congruenti, lo è anche il terzo dato che la somma degli angoli interni di un triangolo è sempre pari a 180°. Ora ricordiamo che il primo criterio di similitudine dei triangoli afferma che se due triangoli hanno i tre ANGOLI ORDINATAMENTE CONGRUENTI sono simili.

 

Quindi possiamo affermare che i  TRIANGOLI  AHC e AHB sono SIMILI. Di conseguenza  i rapporti tra le coppie di lati corrispondenti sono costanti

 

In altre parole, se noi disegniamo nel modo seguente i due triangoli

 

Secondo teorema di Euclide

 

possiamo facilmente scrivere la proporzione

CH : HA = HA : HB  

 

Quella che abbiamo appena scritto è una PROPORZIONE CONTINUA, cioè una proporzione nella quale i due medi (HA) sono uguali e sono detti MEDI PROPORZIONALI.

 

 

Osserviamo che:

  • il MEDIO PROPORZIONALE è l'ALTEZZA relativa all'ipotenusa (AH) del triangolo rettangolo ABC;

  • gli estremi della proporzione sono le PROIEZIONI dei due cateti sull'ipotenusa.

 

In altre parole possiamo dire che in un TRIANGOLO RETTANGOLO, l'ALTEZZA relativa all'ipotenusa è MEDIA PROPORZIONALE fra le PROIEZIONI dei due cateti sull'ipotenusa.

 

Ora indichiamo con 

h la misura dell'altezza relativa all'ipotenusa

pb e  pc la misura delle proiezioni dei due cateti sull'ipotenusa

Secondo teorema di Euclide

 

possiamo scrivere la nostra proporzione nel modo seguente:

CH : HA = HA : HB  

pb : h = h : pc

 

Ricordiamo che in una proporzione il prodotto dei medi è uguale al prodotto degli estremi. Quindi possiamo scrivere:

h2 = pb x pc.

 

Notiamo ora che:

h2  rappresenta l'area del quadrato costruito sull'altezza relativa all'ipotenusa

pb x pc rappresenta l'area del rettangolo che ha per lati le proiezioni dei due cateti sull'ipotenusa

 

ovvero:

Secondo teorema di Euclide

 

 

Quindi, il SECONDO TEOREMA DI EUCLIDE afferma che il QUADRATO costruito sull'ALTEZZA RELATIVA ALL'IPOTENUSA  è EQUIVALENTE al RETTANGOLO che ha per dimensioni le PROIEZIONI DEI DUE CATETI SULL'IPOTENUSA.

 

 

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