SECONDO TEOREMA DI EUCLIDE

Per comprendere meglio questo argomento, leggi prima le seguenti lezioni:
 

Dopo aver visto, nella lezione precedente, il PRIMO TEOREMA DI EUCLIDE, ora ci occuperemo del SECONDO TEOREMA DI EUCLIDE.

Disegniamo un TRIANGOLO RETTANGOLO:

Secondo teorema di Euclide



Ora tracciamo l'ALTEZZA RELATIVA ALL'IPOTENUSA:

Secondo teorema di Euclide



L'altezza AH divide il triangolo ABC in due triangoli: AHC e AHB. Ora osserviamo tali triangoli:

Secondo teorema di Euclide



Notiamo che essi:

  • hanno ciascuno un ANGOLO RETTO: si tratta, in entrambi i casi dell'angolo H;

    Secondo teorema di Euclide

  • hanno gli angoli ACH e HAB COMPLEMENTARI dello stesso angolo CAHe quindi congruenti:

    Secondo teorema di Euclide


Possiamo allora affermare che i due triangoli hanno DUE ANGOLI CONGRUENTI.



Noi sappiamo che, se in un triangolo due angoli sono congruenti, lo è anche il terzo dato che la somma degli angoli interni di un triangolo è sempre pari a 180°. Ora ricordiamo che il primo criterio di similitudine dei triangoli afferma che se due triangoli hanno i tre ANGOLI ORDINATAMENTE CONGRUENTI sono simili.



Quindi possiamo affermare che i TRIANGOLI AHC e AHB sono SIMILI. Di conseguenza i rapporti tra le coppie di lati corrispondenti sono costanti.



In altre parole, se noi disegniamo nel modo seguente i due triangoli

Secondo teorema di Euclide

possiamo facilmente scrivere la proporzione

CH : HA = HA : HB



Quella che abbiamo appena scritto è una PROPORZIONE CONTINUA, cioè una proporzione nella quale i due medi (HA) sono uguali e sono detti MEDI PROPORZIONALI.



Osserviamo che:

  • il MEDIO PROPORZIONALE è l'ALTEZZArelativa all'ipotenusa (AH) del triangolo rettangolo ABC;
  • li estremi della proporzione sono le PROIEZIONI dei due cateti sull'ipotenusa.

In altre parole possiamo dire che in un TRIANGOLO RETTANGOLO, l'ALTEZZA relativa all'ipotenusa è MEDIA PROPORZIONALE fra le PROIEZIONI dei due cateti sull'ipotenusa.



Ora indichiamo con

h   la misura dell'altezza relativa all'ipotenusa

pb e pc    la misura delle proiezioni dei due cateti sull'ipotenusa

Secondo teorema di Euclide

possiamo scrivere la nostra proporzione nel modo seguente:

CH : HA = HA : HB

pb : h = h : pc



Ricordiamo che in una proporzione il prodotto dei medi è uguale al prodotto degli estremi. Quindi possiamo scrivere:

h2 = pb x pc.



Notiamo ora che:

h2   rappresenta l'area del quadrato costruito sull'altezza relativa all'ipotenusa

pb x pc   rappresenta l'area del rettangolo che ha per lati le proiezioni dei due cateti sull'ipotenusa



ovvero:

Secondo teorema di Euclide



Quindi, il SECONDO TEOREMA DI EUCLIDE afferma che il QUADRATO costruito sull'ALTEZZA RELATIVA ALL'IPOTENUSA è EQUIVALENTE al RETTANGOLO che ha per dimensioni le PROIEZIONI DEI DUE CATETI SULL'IPOTENUSA.

 
 
 
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