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COSTRUZIONE del MEDIO PROPORZIONALE tra due segmenti

 

 



Per comprendere  

 

Supponiamo di voler COSTRUIRE il SEGMENTO x, MEDIO PROPORZIONALE fra due segmenti dati che misurano rispettivamente p e q.

In altre parole noi vogliamo cercare il segmento x tale che valga la seguente proporzione:

p : x = x : q.

 

Chiamiamo con CB il segmento pari alla somma di p e q, in altre parole:

CB = p + q.

 

Ora costruiamo una SEMICIRCONFERENZA il cui DIAMETRO sia il segmento CB:

 

Costruzione del medio proporzionale tra due segmenti

 

 

Sul segmento CB segniamo il punto H che rappresenta l'estremo comune al segmento p e al segmento q:

Costruzione del medio proporzionale tra due segmenti

 

 

Ora conduciamo la PERPENDICOLARE a CB passante per il punto H fino ad intersecare la semicirconferenza. Chiameremo, il punto di intersezione tra tale perpendicolare e la semicirconferenza, A:

Costruzione del medio proporzionale tra due segmenti

 

 

Uniamo i punti A, B e C in modo da ottenere un TRIANGOLO:

Costruzione del medio proporzionale tra due segmenti

 

 

Il triangolo ABC è INSCRITTO nella semicirconferenza: questo triangolo è un triangolo rettangolo. Infatti l'angolo al centro nel nostro caso misura 180° poiché si tratta di un angolo piatto.

Costruzione del medio proporzionale tra due segmenti

 

 

Noi sappiamo che OGNI ANGOLO alla CIRCONFERENZA è la META' dell'ANGOLO al CENTRO che insiste sullo stesso arco. Quindi l'angolo A misura 90° e quindi si tratta di un angolo retto.

Costruzione del medio proporzionale tra due segmenti

 

 

Di conseguenza, il triangolo ABC è un TRIANGOLO RETTANGOLO.

 

Il segmento che noi stiamo cercando, cioè il segmento x, non è altro che l'altezza relativa all'ipotenusa AH.

Infatti, per il SECONDO TEOREMA di EUCLIDE noi possiamo scrivere:

CH : HA = HA : HB  

 

che equivale a scrivere

p : x = x : q.

 

 

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