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EQUAZIONE della RETTA TANGENTE alla CIRCONFERENZA e PERPENDICOLARE ad una RETTA data 

 



Per comprendere  

 

A volte capita di dover scrivere l'equazione della RETTA TANGENTE ad una CIRCONFERENZA conoscendo:

  • l'equazione della CIRCONFERENZA;

  • l'equazione di una RETTA PERPENDICOLARE alla tangente cercata. Questa retta la chiamiamo y' e ipotizziamo che abbia come equazione

y' = m'x + n'.

 

Il problema si risolve in maniera simile a quanto visto nella lezione precedente

Ovviamente dobbiamo ricordare che due RETTE sono PERPENDICOLARI quando il COEFFICIENTE ANGOLARE dell'una e il RECIPROCO del coefficiente angolare dell'altra preso con segno OPPOSTO.

Quindi, data l'equazione generale della retta:

y = mx + n

e poiché deve essere

m = -1/m'

possiamo scrivere

y = (-1/m')· x + n.

 

A questo punto si procede come sempre:

  • mettiamo a SISTEMA l'equazione della CIRCONFERENZA con l'equazione della RETTA appena trovata;

 

  • SOSTITUIAMO, nell'equazione della circonferenza, alla y il valore 

(-1/m') · x + n;

 

  • poniamo la CONDIZIONE di TANGENZA

Δ = 0.

 

  • andiamo a cercare il valore del TERMINE NOTO n;

 

  • SOSTITUIAMO il valore del termine noto nell'equazione della retta y. Abbiamo così trovato l'equazione della retta tangente alla circonferenza e perpendicolare alla retta data.

 

 

 

Esempio:

scrivere l'equazione della retta perpendicolare alla retta y = 1/2x - 9 e tangente alla circonferenza di equazione x2 + y2 + 4x + 2y - 15 = 0 

 

 

La retta da noi cercata è del tipo:

y = mx + n.

 

 

Questa retta deve essere perpendicolare alla retta

 

y = 1/2x - 9

 

cioè il coefficiente angolare della retta tangente alla circonferenza deve essere

 

 

-2.

 

Quindi la retta che cerchiamo ha come equazione

 

 

y = -2x + n.

 

 

Ora scriviamo il sistema formato dalla equazione della circonferenza e dall'equazione di questa retta:

 

 

Scrivere l'equazione della retta tangente alla circonferenza e perpendicolare ad una retta data

 

 

 

Nell'equazione della circonferenza, sostituiamo la y con -2x + n:

 

x2 + y2 + 4x + 2y - 15 = 0

x2 + (-2x + n)2 + 4x + 2(-2x + n) - 15 = 0

x2 + 4x2 + n2 - 4nx + 4x - 4x + 2n - 15 = 0

5x2  - 4nx + n2 + 2n - 15 = 0.

 

Poniamo la condizione di tangenza

Δ = 0

b2 - 4ac = 0

16n2 - 4 · (5) · (n2 + 2n - 15) = 0

16n2 - 20n2 + 40n + 300 = 0

- 4n2 + 40n + 300 = 0

 4n2 - 40n - 300 = 0.

 

 

Cerchiamo il valore di n:

Scrivere l'equazione della retta tangente alla circonferenza e perpendicolare ad una retta data

 

Quindi le due soluzioni sono:

n1 = (-40 - 80)/ (8) = -120/(8) = -1

n2 = (-40 + 80)/ (8) = 40/8 = 5.

 

Quindi le due rette tangenti alla circonferenza e perpendicolari alla retta data sono:

y = -2x + 5

y = -2x - 15.

 

 

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