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EQUAZIONE della RETTA TANGENTE alla CIRCONFERENZA e PASSANTE per un PUNTO P APPARTENENTE alla circonferenza

 



Per comprendere  

 

Dopo la breve introduzione fatta, nella lezione precedente, iniziamo a vedere come possiamo scrivere l'EQUAZIONE della RETTA TANGENTE alla circonferenza. Partiamo dal caso in cui conosciamo

  • l'EQUAZIONE DELLA CIRCONFERENZA;

  • le COORDINATE di un punto P(x0; y0) che sappiamo APPARTENERE alla circonferenza.

 

Disegniamo il caso in cui il punto P(x0; y0) APPARTIENE alla circonferenza.

Retta tangente alla circonferenza e passante per un punto P appartenente alla circonferenza

 

 

Notiamo che, il raggio r e la retta y sono tra loro PERPENDICOLARI. Per cui, se troviamo l'equazione della retta a cui appartiene il segmento CP, cioè il raggio, tale retta è perpendicolare alla retta y. E sappiamo che due rette sono perpendicolari quando 

m' = - 1/m.

 

 

 

Ora, per risolvere il nostro problema procediamo nel modo seguente:

  • scriviamo il FASCIO di RETTE passante per P. Ricordiamo che la formula è

y - y0 = m (x - x0)

 

 

(y - y0)/ (y1 - y0) = (x - x0)/ (x1 - x0)

 

 

  • troviamo il COEFFICIENTE ANGOLARE della retta y e lo sostituiamo nel FASCIO DI RETTE passante per P in modo da trovare l'equazione della retta tangente alla circonferenza.

     

 

Esempio:

scrivere l'equazione della retta tangente, nel punto P(8; 6), alla circonferenza di equazione x2 + y2 -10x + 6y -56 = 0.

 

Il problema ci dice qual è il punto in cui cui la retta è tangente alla circonferenza: dunque questo punto appartiene sia alla retta che alla circonferenza.

 

 

Iniziamo scrivendo il fascio di rette passante per il punto P:

 

y - y0 = m (x - x0)

y - 6 = m(x - 8).

 

Ora troviamo le coordinate del centro della circonferenza:

-2α = - 10

-2β = 6

 

da cui ricaviamo

-2α = - 10 

2α = 10

α = 5

e

-2β = 6

2β = - 6

β = -3.

 

Quindi C ha coordinate

C(5; -3).

 

Ora scriviamo l'equazione della retta passante per i punti C e P:

(y - y0)/ (y1 - y0) = (x - x0)/ (x1 - x0)

(y - 6)/ (-3 - 6) = (x - 8)/ (5 - 8)

(y - 6)/ -9 = (x - 8)/ (-3)

y - 6 = 3x - 24

y = 3x - 24 + 6

y = 3x -18.

 

Il coefficiente angolare della retta passante per i punti C e P è 3.

Poiché tale retta è perpendicolare alla retta y, il coefficiente angolare della retta y sarà -1/3.

Sostituiamo tale valore nella equazione del fascio di rette passante per P e avremo:

y - 6 = m(x - 8).

y - 6 = -1/3(x - 8)

y - 6 = -1/3x + 8/3

y = -1/3x + 8/3 + 6

y = -1/3x + (8+18)/3

y = -1/3x + 26/3.

 

Abbiamo trovato l'equazione della retta tangente alla circonferenza data nel punto P (appartenente alla circonferenza).

 

Nella prossima lezione vedremo come, questo tipo di problema, può essere risolto anche applicando le formule di sdoppiamento.

 

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