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Posizione di una RETTA rispetto ad una CIRCONFERENZA

 



Per comprendere  

 

Supponiamo di avere la CIRCONFERENZA di equazione

x2 + y2 + ax + by + c = 0.

 

Ora immaginiamo di avere la RETTA di equazione.

y = mx + n.

 

Vogliamo sapere se vi sono dei PUNTI di INTERSEZIONE tra la circonferenza e la retta.

Per risolvere questo tipo di problema è sufficiente mettere a sistema l'equazione della circonferenza con quella della retta e cercare quei punti, se ci sono, che sono comuni ad entrambi. Quindi avremo:

 

Punti di intersezione tra circonferenza e retta

 

Per risolvere il sistema basta sostituire l'equazione della retta in quella della circonferenza. E avremo:

x2 + (mx + n)2 + ax + b (mx +n) + c = 0

x2 + m2x2 + n2 +2mnx + ax + bmx + bn + c = 0

x2 (1 + m2) + x (2mn + a + bm) + (bn + c + n2) = 0.

 

Quella che abbiamo ottenuto è un'EQUAZIONE DI SECONDO GRADO  che va risolta applicando la formula

Formula risolutiva equazione di secondo grado

Ora si potranno verificare tre casi diversi:

 

Retta esterna alla circonferenza

 

La RETTA è ESTERNA rispetto alla CIRCONFERENZA.

In altre parole la retta e la circonferenza non si incontrano in nessun punto, ovvero non hanno nessun punto in comune.

Il sistema, visto sopra, non ammette soluzioni e ciò si verifica quando il DISCRIMINANTE della formula risolutiva è negativo.

Δ < 0

 

Retta tangente alla circonferenza

La RETTA è TANGENTE rispetto alla CIRCONFERENZA.

In altre parole la retta e la circonferenza hanno un solo punto in comune.

Il sistema, visto sopra, ammette una sola soluzione e ciò si verifica quando il DISCRIMINANTE della formula risolutiva è uguale a zero.

Δ = 0

 

In questo caso, una volta trovato il valore della x con la formula risolutiva, basta sostituirlo nell'equazione della retta per avere anche il valore della y.

I valori della x e della y trovati sono le coordinate del punto di intersezione.

 

Retta secante alla circonferenza

La RETTA è SECANTE rispetto alla CIRCONFERENZA.

In altre parole la retta e la circonferenza hanno due punti in comune.

Il sistema, visto sopra, ammette due soluzioni e ciò si verifica quando il DISCRIMINANTE della formula risolutiva è maggiore di zero.

Δ > 0

 

In questo caso, una volta trovati i valori x1 e x2 con la formula risolutiva, basta sostituirli  nell'equazione della retta per avere anche il valore di y1 e di y2.

Le coordinate dei due punti di intersezione saranno P1(x1 ; y2P2(x2 ; y2).

 

 

Esempio: 

determinare i punti di intersezione, se esistono, tra la retta di equazione y = 2x + 3 e la circonferenza di equazione  x2 + y+ 2x - 4y - 5 = 0.

 

 

Mettiamo a sistema l'equazione della retta e quella della circonferenza in modo da trovare, se ci sono, i punti di interesenzione:

 

 

Intersezione tra la retta e la circonferenza

 

 

 

Sostituendo la prima nella seconda equazione otteniamo

 

 x2 + (2x + 3)2 +2x - 4(2x+3) - 5 = 0

 

 x2 + 4x2 + 9 + 12x + 2x - 8x - 12 - 5 = 0

 

 5x2 + 6x - 8 = 0.

 

 

 

Andiamo a vedere il valore assunto dal discriminante:

 

Δ = b2- 4ac

 

Δ = 62- 4 · 5 · (-8) = 36 + 160 = 196.

 

 

 

Poiché 

 

Δ > 0 

 

il sistema ammette due soluzioni, il che significa che la retta è secante alla circonferenza.

 

Ora cerchiamo le due soluzioni applicando la formula risolutiva:

 

 

Formula risolutiva equazione di secondo grado

 

Interesezione tra retta e circonferenza

 

 

Quindi avremo:

 

x1 =  (-6 - 14)/ 10 = - 20/10 = -2

 

x2 =  (-6 + 14)/ 10 = 8/10.

 

 

 

Ora sostituiamo all'equazione della retta i valori di x1 e di xin modo da trovare le ordinate corrispondenti

 

 

y = 2x + 3

 

y1 = 2 · (-2) + 3 = - 4 + 3 = -1

 

y2 = 2 · (8/10) + 3 = 8/5 + 3 = (8+15)/3 = 23/3. 

 

  

 

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