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EQUAZIONE della RETTA TANGENTE alla CIRCONFERENZA e PASSANTE per un PUNTO P 

 



Per comprendere  

 

Passiamo a vedere il secondo metodo che possiamo usare per trovare l'equazione della RETTA TANGENTE alla CIRCONFERENZA e passante per un punto P.

Per comprendere tale metodo, facciamo una premessa.

Disegniamo una circonferenza e le rette tangenti ad essa e passanti per un punto P esterno alla circonferenza (lo stesso discorso si può fare anche se il punto P appartiene alla circonferenza).

 

Equazione della retta tangente alla circonferenza

 

Ora osserviamo che, la DISTANZA tra il CENTRO della circonferenza e la TANGENTE r,  non è altro che il RAGGIO.

Allo stesso modo la distanza tra il centro della circonferenza e la tangente r',  è ancora una volta il RAGGI.

 

Equazione della retta tangente alla circonferenza

 

 

Allora procediamo nel modo seguente:

  • scriviamo il FASCIO di RETTE passante per P. La formula da applicare è 

y - y0 = m (x - x0)

 

  • calcoliamo le coordinate del CENTRO e il RAGGIO della circonferenza. Ricordiamo che

-2α = a

-2β = b

α22 - r2 = c

 

 

Distanza di un punto da una retta: forma esplicita

 

  • troviamo il valore di  m. Avremo una sola soluzione se il punto P appartiene alla circonferenza. Troveremo, invece, due valori se il punto P è esterno alla circonferenza

 

  • SOSTITUIAMO il valore del coefficiente angolare nell'equazione del FASCIO di rette e avremo la retta tangente alla circonferenza. Chiaramente, se abbiamo trovato due coefficienti angolari, avremo due rette tangenti alla circonferenza, se ne abbiamo trovato uno solo avremo una sola retta tangente alla circonferenza.

 

Riprendiamo l'esercizio visto nella lezione precedente e vediamo come avremmo potuto risolverlo applicando tale metodo.

Esempio:

scrivere l'equazione della retta tangente alla circonferenza di equazione x2 + y2 - 9 = 0  passante per il punto P(5; 0).

 

 

Partiamo dal  fascio di rette passante per il punto P:

 

y - y0 = m (x - x0)

y - 0 = m(x - 5)

y = mx - 5m.

 

Ora cerchiamo le coordinate del centro e il raggio della circonferenza.

 

-2α = a 

-2α = 0

α = 0.

 

-2β = b

-2β = 0

β = 0.

 

Quindi

C (0; 0).

Che il centro fosse nell'origine degli assi era comunque evidente dalla stessa equazione della circonferenza.

 

Andiamo a cercare il raggio:

α22 - r2 = c

0 +0 - r2 = c

 - r2 = - 9

 r2 = 9

r = 3.

 

Scriviamo la distanza tra il centro C della circonferenza e il fascio di rette passante per P e la poniamo pari al raggio r:

Distanza tra il centro e il fascio di rette passanti per P

 

Risolviamo in modo da trovare il valore di m:

Distanza tra il centro e il fascio di rette passanti per P

 

Poiché abbiamo trovato due risultati possiamo dire che il punto P è esterno alla circonferenza e, di conseguenza, avremo due rette tangenti alla circonferenza passanti per il punto P. Le equazioni delle tangenti le otteniamo sostituendo, nell'equazione del fascio di rette passanti per P, i due coefficienti angolari trovati. Ovvero:

y = mx - 5m.

 

Quindi la prima tangente ha come equazione:

y = -3/4x -5 ·(-3/4)

y = -3/4x + 15/4.

 

Mentre la seconda tangente ha come equazione:

y = 3/4x -5 ·(3/4)

y = 3/4x - 15/4.

 

Come possiamo notare abbiamo ottenuto gli stessi risultati visti nella lezione precedente.

 

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