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RETTA PERPENDICOLARE ad una retta data e PASSANTE per un PUNTO

 

 

Per comprendere  

 

Disegniamo DUE RETTE, r e r' che siano:

 

  • NON PARALLELE agli ASSI;

 

Ad esempio:

 

Equazione della retta perpendicolare ad una retta data e passante per un  punto

 

Indichiamo l'equazione della retta r, con

y = mx + n

 

e l'equazione della retta r', con

y = m'x + n'.

 

Se queste due rette sono PERPENDICOLARI, lo saranno anche le due RETTE PASSANTI per L'ORIGINE ad esse PARALLELE. Ovvero:

 

Equazione della retta perpendicolare ad una retta data e passante per un  punto

 

Ora la retta r'' poiché è una retta passante per l'origine degli assi, avrà come equazione:

y = mx.

 

E poiché è parallela alla retta r' avrà il suo stesso coefficiente angolare, cioè m.

Quindi la retta con equazione

y = mx

è la retta parallela ad r' e passante per l'origine degli assi.

 

Invece la retta r''' poiché è una retta passante per l'origine degli assi, avrà come equazione:

y = mx.

 

E poiché è parallela alla retta r'' avrà il suo stesso coefficiente angolare, cioè m'.

Quindi la retta di equazione

y = m'x

è la retta parallela ad r' e passante per l'origine degli assi.

 

Ora disegniamo la retta 

x = 1

 

Equazione della retta perpendicolare ad una retta data e passante per un  punto

 

Ora indichiamo con:

  • A il punto in cui la retta r'' interseca la retta x = 1;

  • B il punto in cui la retta r''' interseca la retta x = 1.

 

Equazione della retta perpendicolare ad una retta data e passante per un  punto

 

Si nota che l'ascissa di A è 1. Sostituendo tale valore nella equazione r'' avremo che:

y = mx

y = m · 1

y = m.

Quindi

A (1; m).

 

Anche l'ascissa di B è 1. Sostituendo tale valore nella equazione r''' avremo che:

y = m'x

y = m' · 1

y = m.

 

Quindi

B (1; m').

 

La figura OAB non è altro che un TRIANGOLO RETTANGOLO.

Per esso varrà quindi, il SECONDO TEOREMA di EUCLIDE che afferma che il QUADRATO costruito sull'ALTEZZA RELATIVA ALL'IPOTENUSA  è EQUIVALENTE al RETTANGOLO che ha per dimensioni le PROIEZIONI DEI DUE CATETI SULL'IPOTENUSA.

Nel nostro caso, quindi, possiamo scrivere

OP2 = AP · PB.

Ovvero:

12 = |m · m'|.

 

Abbiamo messo il simbolo del valore assoluto perché, parlando di segmenti, essi non possono avere valore negativo.

Ora osserviamo che A e B non possono appartenere allo stesso quadrante, perché altrimenti le due rette non sarebbero perpendicolari. Di conseguenza m e m' saranno sempre numeri di segno opposto: uno positivo e l'altro negativo. Quindi il loro prodotto sarà negativo, con la conseguenza che, per ottenere il valore assoluto del loro prodotto, sarà necessario cambiare di segno. In altre parole possiamo scrivere:

12 =  - m · m'

1 = - m · m'.

 

Portiamo - m · m' a primo membro e cambiamo di segno:

1 + m · m' = 0

 

Questa è la condizione necessaria e sufficiente affinché due rette siano tra loro perpendicolari.

Ma quand'è che questa condizione si verifica?

Quando il prodotto tra m e m' è uguale a -1. Infatti:

1 + - 1 = 0.

 

Quindi si tratta di capire quando

m · m' = -1.

 

Questo si verifica quando

m' = - 1/m.

Infatti sostituendo avremo:

1 + m · (-1/m) = 1 - 1 = 0.

 

 

Concludendo possiamo affermare che DUE RETTE sono PERPENDICOLARI quando il COEFFICIENTE ANGOLARE dell'una è il RECIPROCO del coefficiente angolare dell'altra preso con segno OPPOSTO.

 

Nella prossima lezione vedremo alcune applicazioni pratiche di questa regola.

 

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