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EQUAZIONE della RETTA TANGENTE alla CIRCONFERENZA e PARALLELA ad una RETTA data 

 



Per comprendere  

 

In alcuni esercizi viene chiesto di trovare l'equazione della RETTA TANGENTE ad una CIRCONFERENZA conoscendo:

  • l'equazione della CIRCONFERENZA;

  • l'equazione di una RETTA PARALLELA alla tangente cercata. Questa retta la chiamiamo y' e ipotizziamo che abbia come equazione

y' = m'x + n'.

 

Per risolvere questo tipo di problema si deve partire dalla considerazione che due RETTE sono PARALLELE quando hanno lo STESSO COEFFICIENTE ANGOLARE.

Quindi, data l'equazione generale della retta:

y = mx + n

e poiché

m = m'

possiamo sostituire ad m il valore di m' dato che i due coefficienti angolari devono essere uguali

y = m'x + n.

 

A questo punto:

  • mettiamo a SISTEMA l'equazione della CIRCONFERENZA con l'equazione della RETTA appena trovata;

 

  • SOSTITUIAMO, nell'equazione della circonferenza, alla y il valore 

m'x + n;

 

  • poniamo la CONDIZIONE di TANGENZA

Δ = 0.

 

  • andiamo a cercare il valore del TERMINE NOTO n;

 

  • SOSTITUIAMO il valore del termine noto nell'equazione della retta y. Abbiamo così trovato l'equazione della retta tangente alla circonferenza e parallela alla retta data.

 

 

 

Esempio:

scrivere l'equazione della retta parallela alla retta x - y = 0 e tangente alla circonferenza di equazione x2 + y2 - 4x + 6y + 5 = 0 

 

 

La retta da noi cercata è del tipo:

y = mx + n.

 

 

Questa retta deve essere parallela alla retta

 

x - y = 0

 

cioè le due rette devono avere lo stesso coefficiente angolare.

 

Il coefficiente angolare della retta

 

x - y = 0

 

è 

 

-a/b = -1/(-1) = 1.

 

 

Questo significa che noi cerchiamo una retta dove 

 

m = 1

 

cioè del tipo

y = (1)·x + n

y = x + n.

 

 

Ora scriviamo il sistema formato dalla equazione della circonferenza e dall'equazione di questa retta:

 

 

Scrivere l'equazione della retta tangente alla circonferenza e parallela ad una retta data

 

 

Nell'equazione della circonferenza, sostituiamo la y con x + n:

 

x2 + y2 - 4x + 6y + 5 = 0

x2 + (x + n)2 - 4x + 6(x + n) + 5 = 0

x2 + x2 + n2 + 2xn - 4x + 6x + 6n + 5 = 0

2x2 + 2xn - 4x + 6x + n2 + 6n + 5 = 0

2x2 + 2xn + 2x + n2 + 6n + 5 = 0

2x2 + x(2n + 2) + (n2 + 6n + 5) = 0.

 

Poniamo la condizione di tangenza

Δ = 0

b2 - 4ac = 0

(2n + 2)2  - 4 (2) (n2 + 6n + 5) = 0

4n2 + 4 + 8n - 8n2 - 48n - 40 = 0

-4n2 - 40q - 36 = 0.

 

Cerchiamo il valore di n:

Scrivere l'equazione della retta tangente alla circonferenza e parallela ad una retta data

 

Quindi le due soluzioni sono:

n1 = (40 - 32)/ (-8) = 8/(-8) = -1

n2 = (40 + 32)/ (-8) = 72/(-8) = -9.

 

Quindi le due rette tangenti alla circonferenza e parallele alla retta data sono:

y = x - 1

y = x - 9.

 

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