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PROPRIETA' del DETERMINANTE di una matrice quadrata

 

Per comprendere  

 

Continuiamo l'esame delle PROPRIETA' del DETERMINANTE di una matrice quadrata.

 

IX PROPRIETA' del determinante di una matrice quadrata.

Se in una matrice quadrata agli ELEMENTI di una RIGA o di una COLONNA si SOMMANO gli ELEMENTI di un'ALTRA RIGA o di un'ALTRA COLONNA MOLTIPLICATI per una COSTANTE il DETERMINANTE NON CAMBIA.

 

Esempio.

Consideriamo la seguente matrice A:

Proprietà dei determinanti

 

Ora calcoliamo il determinante della matrice A. Avremo:

Proprietà dei determinanti

= [(2 · 2 · 5) + (1 · 4 · 1) + (0 · 3 · 1)] +

- [(0 · 2 · 1) + (2 · 4 · 1) + (1 · 3 · 5)] =

= 20 + 4 + 0 - [0 + 8 + 15] =

= 24 - 23 = 1. 

 

Ora scegliamo una qualsiasi riga o una qualsiasi colonna della matrice A, ad esempio la prima riga.

Scegliamo una qualsiasi altra riga della matrice A, ad esempio la terza riga e moltiplichiamo gli elementi della terza riga per una costante a nostro piacimento, ad esempio 3.

E' chiaro che, se anziché una riga avessimo scelto una colonna, avremmo poi dovuto scegliere una seconda colonna.

 

Riprendiamo la matrice A:

Proprietà dei determinanti

 

La nostra nuova matrice, che chiameremo B sarà:

Proprietà dei determinanti

 

Eseguendo i calcoli avremo:

Proprietà dei determinanti

 

Ora calcoliamo il determinante della matrice B:

Proprietà dei determinanti

= [(5 · 2 · 5) + (4 · 4 · 1) + (15 · 3 · 1)] +

- [(15 · 2 · 1) + (5 · 4 · 1) + (4 · 3 · 5)] =

= 50 + 16 + 45 - [ 30 + 20 + 60] =

111 - 110 = 1.

 

Come possiamo osservare il determinante non è cambiato.

 

Nella prossima lezione  esamineremo l'ultima proprietà del determinante di una matrice.

 

 

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