FUNZIONE OMOGRAFICA

Per comprendere meglio questo argomento, leggi prima le seguenti lezioni:
 

Con l'espressione FUNZIONE OMOGRAFICA si intende una funzione del tipo

Funzione omografica



Questa funzione può rappresentare tre luoghi geometrici diversi:

  1. Quando

    c = 0

    la funzione rappresenta una RETTA di equazione

    Funzione omografica



    chiaramente dovremo avere

    d ≠ 0



  2. Quando

    c ≠ 0 e ad = bc

    la funzione rappresenta una RETTA ORIZZONTALE. Infatti, se

    ad = bc

    avremo

    ad/c = bc/c

    ad/c = b.



    Quindi partiamo da

    Funzione omografica

    e poniamo

    b = ad/c .



    Avremo:

    Funzione omografica



    Attenzione però! Abbiamo detto che questa è una retta orizzontale, ma tranne in un punto cioè:

    x = -d/c.



    Infatti, il campo di esistenza di questa frazione è appunto

    c ≠ 0 - che sicuramente è vera perché posta nelle condizioni di partenza

    e

    cx + d ≠ 0

    da cui segue

    cx ≠ -d

    x ≠ -d/c.



  3. Quando

    c ≠ 0 e ad ≠ bc



    la funzione rappresenta un'IPERBOLE EQUILATERA riferita ai suoi ASINTOTI e TRASLATA rispetto agli ASSI CARTESIANI:

    In altre parole ci troviamo di fronte ad un'iperbole del tipo:

    Iperbole omografica



    Questa iperbole è detta anche IPERBOLE OMOGRAFICA.

    Dimostriamo che, l'equazione vista sopra, rappresenta un'iperbole equilatera riferita ai suoi asintoti e traslata rispetto agli assi cartesiani. Ricordiamo che l'equazione di un'iperbole equilatera riferita ai suoi asintoti è del tipo:

    xy = k

    da cui si ottiene

    y = k/ x.



    Come di consueto indichiamo con X e Y gli assi aventi per origine il punto P0: essi rappresentano gli ASINTOTI della nostra iperbole.

    Supponiamo che il punto P0 abbia come coordinate

    Iperbole omografica



    Ovviamente dovrà essere

    c ≠ 0 - che sicuramente è vera perché posta nelle condizioni di partenza.



    Vediamo l'equazione che l'iperbole assume se il sistema di riferimento è dato dagli assi XP0 Y. Essa sarà del tipo:



    XY = k.



    Noi, però, vogliamo sapere qual è l'equazione di tale iperbole sul sistema di assi xOy.

    Avvaliamoci delle equazioni che ci permettono di passare alle coordinate del sistema xOy. Queste equazioni sono:

    Equazioni di cambiamento degli assi di riferimento

    dove x0 e y0 sono le coordinate del punto P0 che nel nostro caso sono

    Iperbole omografica



    Effettuiamo le dovute sostituzioni e avremo:

    Iperbole omografica

    da cui avremo

    Iperbole omografica



    Sostituiamo nell'equazione

    Iperbole omografica

    i valori di x e y appena trovati e ricordiamo, che

    k =a2/2.

    Quindi abbiamo:

    Iperbole omografica



    Come possiamo notare la nostra equazione assume la forma:

    Iperbole omografica






La nostra equazione, quindi, è quella di un'iperbole equilatera riferita ai propri asintoti e traslata.

Nella prossima lezione vedremo gli elementi di tale iperbole.

 
 
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