IPERBOLE EQUILATERA RIFERITA AI SUOI ASINTOTI

Per comprendere meglio questo argomento, leggi prima le seguenti lezioni:
 

Nella lezione precedente abbiamo parlato dell'IPERBOLE EQUILATERA con CENTRO nell'ORIGINE degli ASSI e riferita agli ASSI CARTESIANI.

Esiste, però, anche un'altra IPERBOLE EQUILATERA, che ha il CENTRO sempre nell'ORIGINE degli ASSI, ma è riferita ai suoi ASINTOTI.

Essa si può presentare in uno dei due modi che seguono:

  1. l'iperbole è situata nel PRIMO e TERZO quadrante

    Iperbole equilatera rispetto ai suoi asintoti



  2. l'iperbole è situata nel SECONDO e QUARTO quadrante

    Iperbole equilatera rispetto ai suoi asintoti




Questo tipo di iperbole ha, esattamente come l'iperbole equilatera riferita agli assi, il SEMIASSE TRAVERSO UGUALE al SEMIASSE NON TRAVERSO, cioè:

a = b.



L'IPERBOLE EQUILATERA riferita agli ASINTOTI ha:

  • il CENTRO nell'origine degli assi (come l'iperbole equilatera riferita agli assi);
  • gli ASSI CARTESIANI come ASINTOTI;
  • i FUOCHI situati o sulla BISETTRICE del PRIMO e del TERZO QUADRANTE oppure sulla BISETTRICE del SECONDO e del QUARTO QUADRANTE

    Iperbole equilatera riferita agli asintoti



    Iperbole equilatera riferita agli asintoti


Le due iperboli appena viste si dicono anche IPERBOLE EQUILATERA RUOTATA di 45° (in senso orario nel primo caso e antiorario nel secondo) in quanto ottenute dall'iperbole equilatera riferita agli assi attraverso una rotazione.



Vediamo ora qual è l'equazione di questa curva. Partiamo dal caso in cui i FUOCHI sono situati sulla BISETTRICE del PRIMO e TERZO QUADRANTE. Ovviamente anche i VERTICI sono situati su tale bisettrice come si può vedere dall'immagine sotto:

Iperbole equilatera riferita agli asintoti



Questa iperbole nasce dalla rotazione in senso antiorario della iperbole equilatera riferita agli assi che nell'immagine sottostante abbiamo disegnato in viola:

Iperbole equilatera riferita agli asintoti

Sappiamo, quindi che:

V1 (a; 0)

Fuoco iperbole equilatera riferita agli assi



Ora, il segmento OV1 sarà congruente con il segmento OV1 e di conseguenza sarà pari ad a. Quindi:

OV1 = a.



Il segmento OF1 sarà congruente con il segmento OF1 e di conseguenza sarà pari ad a per radice di 2. Quindi:

Iperbole equilatera



Come si può notare il segmento OH è congruente con il segmento F1H. E, poiché il segmento OH non è altro che il semiasse traverso dell'iperbole viola, esso è pari ad a. Quindi possiamo scrivere:

OH = F1H = a.



Possiamo giungere a questo risultato anche applicando il teorema di Pitagora: infatti il segmento F1H è uno dei cateti del triangolo OF1H. Quindi possiamo scrivere

F1H2 = OF12 - OV12

Iperbole equilatera rispetto agli asintoti



Questo significa che l'ascisse del punto F1 è a. Poiché tale punto si trova sulla bisettrice del primo e del terzo quadrante, anche l'ordinata del punto F1 è a. Quindi possiamo scrivere:

F1 (a; a)

e di conseguenza

F2 (-a; -a)



Applichiamo ora la definizione di iperbole. Un punto P (x; y) appartiene all'iperbole se:

Iperbole equilatera rispetto agli asintoti

Sostituiamo le coordinate di F1 e F2 e risolviamo:

Iperbole equilatera rispetto agli asintoti

Iperbole equilatera rispetto agli asintoti



Ora poniamo

a2/2 = k

e scriviamo l'EQUAZIONE dell'IPERBOLE EQUILATERA riferita ai suoi ASINTOTI nel modo seguente

xy = k.



Se noi avessimo ruotato l'iperbole in modo da averla nel secondo e nel quarto quadrante, i fuochi avrebbero avuto come coordinate

F1 (-a; a)

e

F2 (a; -a)

e attraverso i vari passaggi visti, avremmo trovato che l'equazione dell'iperbole è:

xy = -(a2/2) = -k.



Quindi possiamo dire che l'equazione

xy = ±k

è l'equazione dell'iperbole equilatera riferita ai suoi asintoti e il valore di k sarà positivo o negativo a seconda dei quadranti nei quali sono collocati i rami dell'iperbole.

Nella prossima lezione continueremo l'esame di tale iperbole.

 
 
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