OPERAZIONI NEI NUMERI NATURALI
- L'insieme dei numeri naturali
- Simboli usati per l'insieme dei numeri naturali
- Nozione di insieme
- L'addizione
- Moltiplicazione
- La sottrazione
- Divisione
- Elevamento a potenza
- Casi particolari dell'elevazione a potenza
- Radice quadrata
- Massimo comun divisore
- Minimo comune multiplo
Le OPERAZIONI che possiamo eseguire con i NUMERI NATURALI sono:
- l'addizione;
- la moltiplicazione;
- la sottrazione;
- la divisione;
- l'elevamento a potenza;
- l'estrazione di radice;
- la ricerca del M.C.D. e del m.c.m..
ADDIZIONE.
Se sommiamo tra loro due numeri naturali otteniamo ancora un numero naturale. Per questa ragione si dice che l'ADDIZIONE è un'OPERAZIONE INTERNA in N.
MOLTIPLICAZIONE.
Se moltiplichiamo tra loro due numeri naturali otteniamo ancora un numero naturale. Per questa ragione si dice che la MOLTIPLICAZIONE è un'OPERAZIONE INTERNA in N.
SOTTRAZIONE.
Dati due numeri naturali
a e b,
la differenza tra i due sarà un numero naturale solamente se
che si legge
a è maggiore o uguale a b.
Per questa ragione diciamo che la sottrazione tra due numeri naturali NON E' UN'OPERAZIONE INTERNA in N poiché essa non associa sempre a due naturali qualsiasi un altro numero naturale.
DIVISIONE.
Supponiamo di avere due numeri
a e b
con
b ≠ 0
che si legge
b diverso da zero.
Ora immaginiamo di voler eseguire l'operazione
a : b.
Il risultato sarà un numero naturale solamente se la divisione è una DIVISIONE PROPRIA ovvero se
a è multiplo di b.
Per questa ragione diciamo che la divisione tra due numeri naturali NON E' UN'OPERAZIONE INTERNA in N* poiché essa non associa sempre a due naturali qualsiasi un altro numero naturale. Infatti se a non è multiplo di b la divisione esatta di a per b non è possibile.
POTENZA.
Supponiamo di avere un numero naturale
a
tale che
a ≠ 0
che si legge
a è diverso da zero.
Ora supponiamo di voler elevare a all'ennesima potenza. Scriveremo perciò:
an
che si legge
a elevato ad n.
Nel caso in cui
n = 0
avremo
a0 = 1.
In altre parole qualsiasi numero naturale, diverso da zero, elevato a zero, dà come risultato 1.
Poste queste premesse possiamo dire che
an
con a ed n naturali
e ad eccezione del caso in cui sia a che n siano uguali a zero
dà come risultato un numero naturale.
Quindi, se escludiamo il caso in cui sia a che n siano uguali a zero, possiamo dire che l'elevamento a potenza è UN'OPERAZIONE INTERNA in N*.
ESTRAZIONE DI RADICE.
Supponiamo di avere due numeri naturali
a e n,
con
che si legge
n maggiore o uguale ad 1.
Supponiamo, inoltre che
bn = a
che si legge
b elevato ad n è uguale ad a.
Parlando dell'elevamento a potenza abbiamo detto che b, ad eccezione del caso in cui sia a che n siano uguali a zero, è un numero naturale.
Ora noi sappiamo anche che, se
bn = a
che si legge
la radice ennesima di b è uguale ad a.
Quindi, affinché l'estrazione della radice ennesima di a sia eseguibile in N* è necessario che b sia la potenza ennesima di un numero naturale.
M.C.D.
Il M.C.D. di due o più numeri è il MAGGIORE dei loro DIVISORI COMUNI.
Ora, dati due numeri naturali a e b, entrambi diversi da zero, affinché un terzo numero sia un divisore comune di essi dovrà essere anch'esso un numero naturale.
Quindi la ricerca del M.C.D. è UN'OPERAZIONE INTERNA in N*.
m.c.m.
Il m.c.m. di due o più numeri è il MINORE dei loro MULTIPLI COMUNI.
Ora, dai due numeri naturali a e b, entrambi diversi da zero, i loro multipli comuni saranno tutti numeri naturali.
Quindi la ricerca del m.c.m. è UN'OPERAZIONE INTERNA in N*.
