COME TROVARE LA FUNZIONE INVERSA DI UNA FUNZIONE?

Per comprendere meglio questo argomento, leggi prima le seguenti lezioni:
 

Dopo aver visto quando una FUNZIONEè INVERTIBILE e cosa si intende per FUNZIONE INVERSA, ora ci chiediamo: "Data una funzione y = f(x) come faccio a trovare la sua inversa?"

Ecco le regole da seguire.

Data la funzione

y = f(x)

per trovare la sua inversa

x = f-1(y)

dobbiamo procedere nel modo seguente:

1 - per prima cosa dobbiamo vedere se la funzione è INVERTIBILE. Quindi verifichiamo che la funzione sia BIUNIVOCA. Se essa lo è allora si potrà trovare la funzione inversa;

2 - se la funzione non è biunivoca, andiamo a vedere se essa è INIETTIVA. Se la funzione è iniettiva (ma non suriettiva dato che essa non è biunivoca) allora la funzione è INVERTIBILE a condizione che noi RESTRINGIAMO L'IMMAGINE ad un intervallo opportuno;

3 - se la funzione NON è INIETTIVA essa NON è neppure INVERTIBILE e dunque non possiamo trovare l'inversa della funzione data;

4 - se la funzione y = f(x) è INVERTIBILE passiamo a trovare la sua inversa. Attraverso opportuni passaggi algebrici occorre passare da una funzione dove la x è la variabile indipendente e la y la variabile dipendente ad una funzione nella quale la y è la variabile indipendente e la x è la variabile dipendente.



Esempio:

y = x + 8.

Disegniamo la nostra funzione

x y
0 8
1 9


funzione invertibile



La funzione disegnata è una retta: essa è biunivoca. Quindi è invertibile.

Troviamo, allora, la funzione inversa.

Per fare ciò scambiamo nella funzione f la x con la y. Partiamo dalla funzione f:

y = x + 8.



Scambiamo la x con la y:

x = y + 8.



Ora esplicitiamo in funzione della y, cioè portiamo la y a primo membro cambiando di segno e portiamo la x a secondo membro cambiando di segno:

- y = - x + 8.



Cambiamo di segno ad entrambi i membri:

y = x - 8.



Abbiamo così ottenuto la nostra funzione inversa. Ora andiamo a disegnarla:

x y
0 -8
1 -7


funzione inversa



La funzione disegnata in azzurro è la funzione inversa.

Ora osserviamo il grafico della funzione inversa f-1: esso è SIMMETRICO del grafico di f rispetto alla bisettrice del 1° e del 3° quadrante che, nell'immagine sottostante abbiamo indicato in rosso.

funzione inversa



Tale simmetria esiste per qualsiasi funzione inversa.

Nella prossima lezione vedremo altri esempi di funzioni inverse.

 
 
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