FUNZIONE INVERTIBILE E MONOTONA

Per comprendere meglio questo argomento, leggi prima le seguenti lezioni:
 

Consideriamo la seguente la funzione

F di A in B

e supponiamo che tale funzione sia STRETTAMENTE MONOTÒNA.

Ciò significa che, dati due valori x1 e x2 appartenenti al suo CAMPO DI ESISTENZA possiamo dire che:

  • se x1 è minore di x2 avremo che f(x1) è minore di f(x2)
oppure
  • se x1 è minore di x2 avremo che f(x1) è maggiore di f(x2).

Nel primo caso la funzione è STRETTAMENTE CRESCENTE, mentre nel secondo caso essa è STRETTAMENTE DECRESCENTE.



Quindi, in entrambi i casi possiamo dire che, in una funzione STRETTAMENTE MONOTÒNA si avrà che:

funzione strettamente monotona

che si legge

x con 1 diverso da x con 2 implica che f di x con 1 è diverso da f di x con 2.



Ma questo significa affermare che la funzione è INIETTIVA e dunque, essa è INVERTIBILE.



Abbiamo, quindi, dimostrato che una FUNZIONE STRETTAMENTE MONOTÒNA è una FUNZIONE INVERTIBILE.

Tuttavia una funzione può essere invertibile anche se non è strettamente monotona.



Esempio:

Funzione invertibile

La funzione disegnata non è una funzione strettamente monotòna, ma è una funzione invertibile.



Ora torniamo alla nostra funzione strettamente monotòna e chiamiamo con f-1 la sua funzione inversa. Vogliamo verificare che anche quest'ultima sia strettamente monotòna.

Partiamo dal caso in cui la funzione f sia crescente. Ovvero:

x1 < x2

e di conseguenza

f(x1) < f(x2)

che potremmo scrivere anche come

y1 < y2.



Ora prendiamo la funzione inversa f-1 e consideriamo il caso in cui

y1 < y2

non potrà essere che

x1 > x2

né che

x1 = x2

dato che in partenza abbiamo posto che

x1 < x2.

Quindi anche la funzione f-1 sarà strettamente crescente.



Potremmo fare le stesse considerazioni partendo da una funzione strettamente decrescente.



Quindi concludendo possiamo dire che una FUNZIONE STRETTAMENTE MONOTÒNA è una FUNZIONE INVERTIBILE e la FUNZIONE INVERSA è anch'essa una FUNZIONE STRETTAMENTE MONOTÒNA.

 
 
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