FUNZIONI INVERSE

Per comprendere meglio questo argomento, leggi prima le seguenti lezioni:
 

Sia f una funzione reale di variabile reale definita su un insieme A tale che associa ad ogni x appartenente all'insieme A uno e un solo y appartenente all'insieme B:

f di A in B

che si legge

f di A in B



Funzione inversa



Ora vogliamo vedere se è possibile trovare una funzione g che associ ad ogni y appartenente all'insieme B uno e un solo elemento x appartenente all'insieme A. Ovvero vogliamo vedere se esiste



g di A in B

che si legge

g di B in A

Funzione inversa



E' evidente che non sempre ciò è possibile, in quanto un elemento di B potrebbe avere in A più di un corrispondente.

Funzione inversa

Nell'esempio riportato sopra accade che due elementi di A sono associati, mediante la funzione f, ad un solo elemento di B.

In questo caso non è possibile trovare una funzione g che associ ad ogni elemento di B un solo elemento di A perché, in un caso (lo abbiamo evidenziato con le frecce rosse), ad un elemento di B sono associati due elementi di A.

Quindi possiamo trovare la nostra funzione g solamente se ad ogni elemento x appartenente all'insieme A corrisponde un solo elemento y appartenente all'insieme B. Ma sappiamo che, quando ciò si verifica, la nostra funzione si dice INIETTIVA.



Ma vediamo ancora un'altra ipotesi.

Funzione inversa

Nell'esempio riportato sopra accade che un elemento di B non è associato, mediante la funzione f, a nessun elemento di A.

In questo caso non è possibile trovare una funzione g che associ ad ogni elemento di B un solo elemento di A perché in un caso (lo abbiamo cerchiato di rosso) un elemento di B non è associato a nessun elemento di A.

Quindi possiamo trovare la nostra funzione g solamente se ogni elemento dell'insieme B è immagine di almeno un elemento dell'insieme A. Ma sappiamo che, quando ciò si verifica, la nostra funzione si dice SURIETTIVA.



Quindi, affinché una funzione sia INVERTIBILE essa deve essere INIETTIVA e SURITTIVA. Ma una funzione che è, al tempo stesso, iniettiva e suriettiva è una FUNZIONE BIUNIVOCA.

Quindi, affinché una funzione sia INVERTIBILE essa deve essere BIUNIVOCA.



A questo punto possiamo definire la funzione inversa.

Siano A e B due sottoinsiemi impropri di R. Ovvero:

A e B sottoinsiemi impropri di R

che si legge

A e B sottoinsiemi impropri di R.



E sia

f di A in B

una FUNZIONE BIUNIVOCA.



Si chiama FUNZIONE INVERSA la funzione

f-1(y)

che si legge

f alla meno 1 di y

che associa ad ogni elemento y appartenente all'insieme B la sua controimmagine x appartenente all'insieme A.

Nelle prossime lezioni continueremo a parlare di funzioni inverse.

 
 
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