COME CAPIRE SE UNA FUNZIONE E' INIETTIVA
- Funzioni reali di variabile reale
- Funzioni iniettive
- Come riconoscere se una funzione è iniettiva
- Funzioni suriettive
- Come riconoscere se una funzione è suriettiva
- Funzioni biunivoche
- Come riconoscere se una funzione è biunivoca
- Implicazione logica
In una delle lezioni precedenti abbiamo detto che una FUNZIONE è INIETTIVA se ad ELEMENTI DIVERSI di X corrispondono ELEMENTI DIVERSI di Y e nella lezione precedente abbiamo visto come è possibile capire se una funzione è iniettiva usando il TEST DELLE RETTE ORIZZONTALI.
Abbiamo detto che, affinché una FUNZIONE sia INIETTIVA si deve verificare che
che si legge
x con 1 e x con 2 appartenenti ad X tali che x con 1 è diverso da x con 2 implica che f con x con 1 è diverso da f con x con 2.
Dati due valori x1 e x2 appartenenti ad X, qualora essi siano uguali, avremo come conseguenza che anche f(x1) e f(x2) saranno uguali. Quindi possiamo scrivere che una FUNZIONE è INIETTIVA anche in quest'altro modo:
che si legge
x con 1 e x con 2 appartenenti ad X tali che x con 1 è uguale a x con 2 implica che f con x con 1 è uguale ad f con x con 2.
Quindi, se si verifica questa condizione, una funzione è INIETTIVA.
Data, allora, una funzione
y = f(x)
si tratta di verificare che
f(x1) = f(x2).
Se l'uguaglianza è verificata significa che la funzione è iniettiva.
Esempio 1:
data la funzione
y = 2x + 8
verifichiamo se essa è iniettiva o no.
Sostituiamo alla funzione dapprima il valore di x1 e poi quello di x2. E verifichiamo che
f(x1) = f(x2).
Ovvero
f(x1) = 2x1 + 8
f(x2) = 2x2 + 8
f(x1) = f(x2)
2x1 + 8 = 2x2 + 8.
Eliminiamo l'8 da entrambi i membri e avremo:
2x1 = 2x2.
Dividiamo per 2 il primo e il secondo membro e avremo:
x1 = x2.
Abbiamo dimostrato che essendo f(x1) uguale a f(x2) anche x1 è uguale a x2. Quindi la nostra funzione è iniettiva.
Esempio 2:
data la funzione
y = |x|
verifichiamo se essa è iniettiva o no.
Sostituiamo alla funzione dapprima il valore di x1 e poi quello di x2. E verifichiamo che
f(x1) = f(x2).
Ovvero
f(x1) = |x1|
f(x2) = |x1|
f(x1) = f(x2)
|x1| = |x2|
da cui si ottiene
+/- x1 = +/- x2.
E' evidente che l'uguaglianza
x1 = x2
non è verificata poiché è vero che
+x1 = +x2
ma non è vero, ad esempio, che
+x1 = -x2.
Quindi la nostra funzione non è iniettiva.
