EQUAZIONI OMOGENEE DI SECONDO GRADO IN SENO E COSENO

Per comprendere meglio questo argomento, leggi prima le seguenti lezioni:
 

Nella lezione precedente abbiamo visto come si risolvono le EQUAZIONI OMOGENEE DI SECONDO GRADO IN SENO E COSENO. In questa lezione andremo ad applicare quanto appreso ad alcuni esempi concreti.


Esempio 1:

- cos2 x + sen x cos x = 0

Notiamo subito che nel nostro caso

a = 0.

Quindi mettiamo in evidenza cos x ed otteniamo:

cos x (-cos x + sen x) = 0.

Per la legge di annullamento del prodotto le soluzioni sono:

cos x = 0

oppure

-cos x + sen x = 0

o entrambe nulle.


Partiamo dalla prima equazione,

cos x = 0.

Si tratta di un'equazione goniometrica elementare nel coseno. Per prima cosa osserviamo che

-1 ≤ 0 ≤ +1

quindi l'equazione ammette soluzioni. La soluzione è:

x = π/2 + kπ

Passiamo alla seconda equazione:

-cos x + sen x = 0

Dividiamo entrambi i membri per cos x ed otteniamo:

- cos x/cos x + sen x/cos x = 0

- 1 + sen x/cos x = 0.


Sostituiamo la tangente al rapporto tra seno e coseno:

- 1 + tan x = 0

tan x = 1.

Quella che abbiamo scritto è una equazione goniometrica elementare nella tangente la cui soluzione è

x = π/4 + kπ


Quindi le soluzioni dell'equazione di partenza sono:

x = π/2 + kπ   ∨   x = π/4 + kπ.



Esempio 2:

Risoluzione equazioni omogenee di secondo grado in seno e coseno


Notiamo subito che nel nostro caso

c = 0.

Quindi mettiamo in evidenza sen x ed otteniamo:

Risoluzione equazioni omogenee di secondo grado in seno e coseno


Per la legge di annullamento del prodotto le soluzioni sono:

sen x = 0

oppure

Risoluzione equazioni omogenee di secondo grado in seno e coseno

o entrambe nulle.


Partiamo dalla prima equazione

sen x = 0.

Si tratta di un'equazione goniometrica elementare nel seno la cui soluzione è:

x = kπ

Passiamo alla seconda equazione:

Risoluzione equazioni omogenee di secondo grado in seno e coseno

Dividiamo entrambi i membri per cos x ed otteniamo:

Risoluzione equazioni omogenee di secondo grado in seno e coseno


Sostituiamo, la tangente al rapporto tra seno e coseno:

Risoluzione equazioni omogenee di secondo grado in seno e coseno


da cui otteniamo:

Risoluzione equazioni omogenee di secondo grado in seno e coseno


La cui soluzione è:

π/6 + kπ.


Quindi, le soluzioni sono:

x = kπ   ∨   π/6 + kπ

con

k Z.




Esempio 3:

3 sen22 x - 2 sen x cos x -cos2 x = 0

Notiamo subito che nel nostro caso

a ≠ 0   e    c ≠ 0.

Quindi dividiamo tutto per cos2 x ed otteniamo:

Risoluzione equazioni omogenee di secondo grado in seno e coseno


Ricordando la seconda relazione fondamentale della goniometria possiamo scrivere:

3 tan2 x - 2 tan x - 1 = 0


Ponendo:

y = tan x

la nostra equazione diventa:

3 y2 - 2 y - 1 =0

la cui soluzione è:

Risoluzione equazioni omogenee di secondo grado in seno e coseno


Da essa otteniamo come soluzioni:

y1 = -1/3

y2 = 1.


Ora, ricordando che abbiamo posto:

y = tan x

possiamo scrivere:

tan x = -1/3

tan x = 1

da cui otteniamo come soluzioni:

x = arctan (-1/3) + kπ    ∨   x = π/4 + kπ

con

k Z.




Nella prossima lezione vedremo il caso di equazioni riconducibili alle equazioni omogenee di secondo grado in seno e coseno.

 
 
 
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