EQUAZIONI OMOGENEE DI SECONDO GRADO IN SENO E COSENO
- Equazioni omogenee di secondo grado in seno e coseno
- Equazioni goniometriche elementari del tipo sen x = a
- Equazioni goniometriche elementari del tipo cos x = b
- Equazioni goniometriche elementari del tipo tan x = c
- Equazioni lineare in seno e coseno
Nella lezione precedente abbiamo visto come si risolvono le EQUAZIONI OMOGENEE DI SECONDO GRADO IN SENO E COSENO. In questa lezione andremo ad applicare quanto appreso ad alcuni esempi concreti.
Esempio 1:
- cos2 x + sen x cos x = 0
Notiamo subito che nel nostro caso
a = 0.
Quindi mettiamo in evidenza cos x ed otteniamo:
cos x (-cos x + sen x) = 0.
Per la legge di annullamento del prodotto le soluzioni sono:
cos x = 0
oppure
-cos x + sen x = 0
o entrambe nulle.
Partiamo dalla prima equazione,
Si tratta di un'equazione goniometrica elementare nel coseno. Per prima cosa osserviamo che
-1 ≤ 0 ≤ +1
quindi l'equazione ammette soluzioni. La soluzione è:
x = π/2 + kπ
Passiamo alla seconda equazione:
-cos x + sen x = 0
Dividiamo entrambi i membri per cos x ed otteniamo:
- cos x/cos x + sen x/cos x = 0
- 1 + sen x/cos x = 0.
Sostituiamo la tangente al rapporto tra seno e coseno:
- 1 + tan x = 0
tan x = 1.
Quella che abbiamo scritto è una equazione goniometrica elementare nella tangente la cui soluzione è
x = π/4 + kπ
Quindi le soluzioni dell'equazione di partenza sono:
x = π/2 + kπ ∨ x = π/4 + kπ.
Esempio 2:
Notiamo subito che nel nostro caso
c = 0.
Quindi mettiamo in evidenza sen x ed otteniamo:
Per la legge di annullamento del prodotto le soluzioni sono:
sen x = 0
oppure
o entrambe nulle.
Partiamo dalla prima equazione
Si tratta di un'equazione goniometrica elementare nel seno la cui soluzione è:
x = kπ
Passiamo alla seconda equazione:
Dividiamo entrambi i membri per cos x ed otteniamo:
Sostituiamo, la tangente al rapporto tra seno e coseno:
da cui otteniamo:
La cui soluzione è:
π/6 + kπ.
Quindi, le soluzioni sono:
x = kπ ∨ π/6 + kπ
con
Esempio 3:
3 sen22 x - 2 sen x cos x -cos2 x = 0
Notiamo subito che nel nostro caso
a ≠ 0 e c ≠ 0.
Quindi dividiamo tutto per cos2 x ed otteniamo:
Ricordando la seconda relazione fondamentale della goniometria possiamo scrivere:
3 tan2 x - 2 tan x - 1 = 0
Ponendo:
y = tan x
la nostra equazione diventa:
3 y2 - 2 y - 1 =0
la cui soluzione è:
Da essa otteniamo come soluzioni:
y1 = -1/3
y2 = 1.
Ora, ricordando che abbiamo posto:
y = tan x
possiamo scrivere:
tan x = -1/3
tan x = 1
da cui otteniamo come soluzioni:
x = arctan (-1/3) + kπ ∨ x = π/4 + kπ
con
Nella prossima lezione vedremo il caso di equazioni riconducibili alle equazioni omogenee di secondo grado in seno e coseno.
