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EQUAZIONI con VALORE ASSOLUTO e INCOGNITA anche FUORI DAL MODULO

 

 



Per comprendere  

 

Passiamo ad esaminare quelle EQUAZIONI CON VALORE ASSOLUTO nelle quali abbiamo:

  • in un membro il MODULO con l'INCOGNITA;

  • nell'altro membro l'INCOGNITA FUORI DAL MODULO.

 

La nostra equazione avrà la forma:

|A(x)| = B(x).

 

 

Ora torniamo per un attimo alla DEFINIZIONE DI VALORE ASSOLUTO. Essa è:

Definizione di valore assoluto

 

Quindi possiamo dire che quando

A(x) ≥ 0

la nostra equazione sarà

A(x) = B(x).

 

Il che significa risolvere il sistema:

Risoluzione di equazioni con valore assoluto

 

 

Quando, invece

A(x) < 0

la nostra equazione sarà

- A(x) = B(x).

 

Il che significa risolvere il sistema:

Risoluzione di equazioni con valore assoluto

 

Quindi, la soluzione della nostra equazione è data dall'unione delle soluzioni dei due sistemi, ovvero:

 

Risoluzione di equazioni con valore assoluto

 

Esempio:

|1 - 2x| = 5x - 7.

 

Le soluzioni dell'equazione sono date dall'unione dei due sistemi:

Risoluzione di equazioni con valore assoluto

 

Iniziamo a risolvere il primo sistema:

Risoluzione di equazioni con valore assoluto

La soluzione trovata 

x = 8/7

non è accettabile perché non è inferiore, o uguale, ad 1/2. Quindi il sistema non ammette soluzioni: potremmo dire anche che la soluzione del sistema è l'INSIEME VUOTO che indichiamo così

S = Ø.

 

 

Passiamo al secondo sistema:

 

Risoluzione di equazioni con valore assoluto

 

La soluzione trovata 

x = 2

è accettabile perché è maggiore di 1/2

 

Quindi la soluzione dell'equazione è

x = 2.

 

 

Così come abbiamo detto anche nelle precedenti lezioni, questo metodo di risoluzione si applica anche a tutte quelle equazioni che si presentano in una forma diversa rispetto a quella vista in precedenza, ma ad essa riconducibile.

 

Esempio:

|2 - x| + x2 = 4.

 

Basta portare x2 a secondo membro, ricordandoci di cambiare di segno, e avremo ricondotto la nostra equazione alla forma vista in precedenza:

|2 - x| = 4 - x2.

 

Ora risolviamo come di consueto:

Risoluzione di equazioni con valore assoluto

 

Iniziamo con il primo sistema:

Risoluzione di equazioni con valore assoluto

Risolviamo la seconda equazione del sistema:

Risoluzione di equazioni con valore assoluto

 

Entrambi i risultati ottenuti, - 1 e 2, sono risultati del sistema, in quanto rispondono alla condizione posta dalla disequazione presente nel sistema: infatti, uno è minore di due e l'altro è uguale a due.

 

Passiamo al secondo sistema:

Risoluzione di equazioni con valore assoluto

 

Risolviamo la seconda equazione del sistema:

Risoluzione di equazioni con valore assoluto

 

Nessuno dei due risultati ottenuti, - 3 e 2, è accettabile come soluzione del sistema, perché nessuno dei due risponde alla condizione posta dalla disequazione presente nel sistema, ovvero che la x sia maggiore di 2. Quindi la soluzione di questo sistema è l'insieme vuoto:

S = Ø.

 

Le soluzioni dell'equazione di partenza sono quindi:

x = -1 ˅ x = 2 .

 

 

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