EQUAZIONI CON DUE MODULI

Per comprendere meglio questo argomento, leggi prima le seguenti lezioni:
 

Continuiamo l'esame dei vari tipi di EQUAZIONI CON VALORE ASSOLUTO e vediamo le equazioni nelle quali compaiono

  • in un membro il MODULO con l'INCOGNITA;
  • e anche nell'altro membro il MODULO con l'INCOGNITA
  • e nient'altro oltre ai due moduli.




La nostra equazione avrà la forma:

|A(x)| = |B(x)|.



In altre parole abbiamo l'uguaglianza di due moduli che contengono, entrambi, l'incognita. Inoltre non abbiamo nient'altro oltre ai due moduli.

Poiché a primo membro e a secondo membro abbiamo due valori assoluti, quindi due valori sempre positivi, essi saranno uguali:

  • quando i valori compresi tra i due moduli sono UGUALI. Cioè quando

    A(x) = B(x)



  • quando i valori compresi tra i due moduli sono l'uno l'OPPOSTO dell'altro. Cioè quando

    A(x) = - B(x).


Quindi, le soluzioni della nostra equazione sono:

A(x) = B(x) ˅ A(x) = - B(x)

che si legge

A con x uguale B con x oppure A con x uguale meno B con x.



Esempio:

|4x - 2| = |5x-5|.



Le soluzioni dell'equazione si ottengono risolvendo

4x - 2 = 5x -5

e risolvendo

4x - 2 = - (5x - 5).



Iniziamo dalla prima equazione:

4x - 2 = 5x -5

4x - 5 x = -5 + 2

-x = -3

x = 3.



Passiamo alla seconda equazione:

4x - 2 = - (5x - 5)

4x - 2 = -5x +5

4x +5x = 5 + 2

9x = 7

x = 7/9.



Quindi le soluzioni dell'equazione sono:

x = 3 ˅ x = 7/9.



Così come abbiamo visto nella lezione precedente, anche in questo caso, l'equazione da risolvere si potrebbe presentare in una forma diversa, ma ad essa riconducibile.

Esempio:

|2x - 1| - |3x - 6| = 0.



Basta portare uno dei due moduli a secondo membro, ricordandoci di cambiare di segno:

|2x - 1| = |3x - 6|.



Abbiamo ricondotto l'equazione alla forma precedente e possiamo andare a risolverla ponendo:

2x - 1 = 3x - 6

e

2x - 1 = - (3x - 6).



Risolviamo la prima:

2x - 1 = 3x - 6

2x - 3x = - 6 + 1

-x = -5

x = 5.



Passiamo alla seconda:

2x - 1 = - (3x - 6)

2x - 1 = -3x + 6

2x + 3x = +6 + 1

5x = 7

x = 7/5.



Quindi, le nostre soluzioni sono:

x = 5 ˅ x = 7/5.



Più volte abbiamo ribadito che questo modo di procedere vale solamente nel caso in cui abbiamo un modulo al primo membro dell'equazione e un modulo al secondo membro dell'equazione, entrambe contenenti l'incognita, ma oltre ai due moduli non vi deve essere nient'altro. Vedremo, nella prossima lezione, come procedere a risolvere casi più complessi nei quali non vi è la sola presenza dei due moduli.

 
 
Il nostro sito collabora ad una ricerca condotta dall'Università dell'Aquila e dall'Università di Pavia sulla didattica della matematica. Ti saremmo grati se volessi dedicarci alcuni minuti rispondendo ad un breve questionario.

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