EQUAZIONI CON UN VALORE ASSOLUTO DENTRO L'ALTRO

Per comprendere meglio questo argomento, leggi prima le seguenti lezioni:
 

In questa lezione andremo a vedere come si risolvono le equazioni nelle quali sono presenti un VALORE ASSOLUTO DENTRO L'ALTRO.

In altre parole si tratta di equazioni che possono presentarsi, ad esempio, in una delle seguenti forme:

| A(x) + |B(x)| | = k

oppure

| A(x) + |B(x)| | = C(x)



dove k può assumere valore zero o essere una qualsiasi altra costante, mentre A(x), B(x) e C(x) sono delle espressioni contenenti l'incognita x.



Come si risolvono queste equazioni?

Basta immaginare, tutto quello che è scritto nel MODULO ESTERNO, come se fosse una sola espressione. Prendiamo il primo caso (ma quello che diremo vale anche per l'altro caso)

| A(x) + |B(x)| | = k.



Si tratta di immaginare l'equazione scritta nella forma:

Equazione con valore assoluto dentro un altro valore assoluto



Per cui la nostra equazione diventa

| D(x) | = k.



A questo punto, si risolve secondo le regole apprese nelle lezioni precedenti.

Ma vediamo come procedere con un esempio concreto.

Esempio:

| x - | x - 4 | | = 8.

Poniamo

D(x) = x - | x - 4 |.

L'equazione di partenza diventa:

| D(x) | = 8.



Noi sappiamo che un'equazione di questo tipo ha come soluzioni

D(x) = 8 ˅D(x) = - 8.

ovvero

x - | x - 4 | = 8 ˅ x - | x - 4 | = - 8.

Da qui ricaviamo

- | x - 4 | = 8 - x ˅ - | x - 4 | = - 8 - x.



Entrambe le nostre equazioni sono del tipo:

| A(x)| = B(x)

e si risolvono impostando i sistemi

Soluzione di equazioni con valore assoluto



Questo significa che noi avremo due sistemi per ognuna delle equazioni scritte in precedenza: quindi, in totale, dovremo risolvere quattro sistemi.



Prima equazione:

- | x - 4 | = 8 - x

Equazione con valore assoluto dentro un altro valore assoluto



Seconda equazione

- | x - 4 | = - 8 - x

Equazione con valore assoluto dentro un altro valore assoluto



Iniziamo a risolvere il primo sistema:

Equazione con valore assoluto dentro un altro valore assoluto

Partiamo dalla disequazione

x - 4 ≥ 0

x ≥ 4.

Passiamo all'equazione

- (x - 4) = 8 - x

- x + 4 = 8 - x

- x + x = 8 - 4

0 = 4.

Il sistema non ha soluzioni.



Passiamo al secondo sistema:

Equazione con valore assoluto dentro un altro valore assoluto

Iniziamo come sempre dalla disequazione:

x - 4 < 0

x < 4.

Quindi passiamo all'equazione:

(x - 4) = 8 - x

x - 4 = 8 - x

x + x = 8 + 4

2x = 12

x = 6.

Il sistema non ha soluzioni dato che 6 non è minore di 4.



Procediamo col terzo sistema:

Equazione con valore assoluto dentro un altro valore assoluto

Iniziamo con la disequazione:

x - 4 ≥ 0

x ≥ 4.

Passiamo all'equazione:

- (x - 4) = - 8 - x

- x + 4 = - 8 - x

- x + x = - 8 - 4

0 = -12.

Il sistema non ha soluzioni.



Concludiamo con il quarto sistema:

Equazione con valore assoluto dentro un altro valore assoluto

Cominciamo con la disequazione:

x - 4 < 0

x < 4.

Concludiamo con l'equazione:

x - 4 = - 8 - x

x + x = - 8 + 4

2x = -4

x = -4/2

x = -2.

Il sistema ha come soluzione -2 essendo questo valore minore di 4.



Quindi la soluzione della nostra equazione di partenza è -2.

 
 
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