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EQUAZIONI con DUE MODULI

 



Per comprendere  

 

Nella lezione precedente abbiamo visto come si risolvono EQUAZIONI nelle quali sono presenti DUE MODULI  e soltanto quelli. In altre parole equazioni del tipo:

|A(x)| = |B(x)|.

 

E se, invece, l'equazione si dovesse presentare nella forma:

|A(x)| + |B(x)| = k

oppure

|A(x)| + |B(x)| = C(x)

 

come facciamo per risolverla?

Vediamolo alcuni esempi concreti attraverso i quali spiegheremo come si procede.

 

1° caso. Equazione del tipo:

|A(x)| + |B(x)| = k.

Esempio:

|x| + |x-3| = 5.

 

La prima cosa che dobbiamo fare è STUDIARE IL SEGNO delle ESPRESSIONI poste dentro ogni MODULO.

In altre parole andare a cercare:

  • quando x è positivo, negativo o nullo;

  • quando x- 3  è positivo, negativo o nullo.

 

Quindi: 

x 0

e

x - 3 da cui otteniamo  x 3.

 

La seconda cosa da fare è RIPORTARE i RISULTATI ottenuti su un GRAFICO in modo da avere una chiara visione di insieme della situazione. Nel grafico indicheremo:

  • con una linea continua i valori delle x che rendono positiva l'espressione;

  • con una linea discontinua i valori delle x che rendono negativa l'espressione;

  • con un pallino vuoto, i valori della x che annullano l'espressione.

 

Soluzione di equazioni con due moduli

 

 

Ora andiamo a SCRIVERE I SISTEMI che ci permetteranno di risolvere l'equazione.

Osserviamo che possiamo dividere il grafico in tre parti:

Soluzione di equazioni con due moduli

 

  • quando x è minore di zero, entrambe le espressioni presenti nei moduli sono negative;

  • quando la x è compresa tra zero e 3, l'espressione x- 3 è negativa, mentre l'espressione x è positiva;

  • quando la x è maggiore di 3 entrambe le espressioni sono positive.

 

Questo equivale a risolvere tre sistemi:

  • quando x è minore di zero, entrambe le espressioni presenti nei moduli sono negative. Quindi si tratta di risolvere il seguente sistema:

Soluzione di equazioni con due moduli

 

  • quando la x è compresa tra zero e 3, l'espressione x- 3 è negativa, mentre l'espressione x è positiva. Quindi il sistema da risolvere sarà:

Soluzione di equazioni con due moduli

 

  • quando la x è maggiore di 3 entrambe le espressioni sono positive. Il sistema da risolvere sarà:

Soluzione di equazioni con due moduli

In altre parole, i tre sistemi sono costruiti ponendo:

  • una equazione che dipende dal segno.

 

I risultati dell'equazione sono accettabili se viene rispettata la condizione posta dalla disequazione.

Una parola in più va spesa per gli estremi degli intervalli (nel nostro caso lo 0 e il 3). Essi possono essere inclusi, indifferentemente, in un intervallo o in quello successivo: bisogna, però, fare attenzione a non includerli in entrambi.

 

La soluzione della nostra equazione è data dall'unione dei tre risultati ottenuti.

Procediamo:

Soluzione di equazioni con due moduli

-(x) - (x-3) = 5

- x - x + 3 = 5

-2x = 5 - 3

-2x = 2

x = -2/2

x = -1.

La soluzione è accettabile poiché è minore di zero.

 

Passiamo al secondo sistema:

Soluzione di equazioni con due moduli

x - x + 3 = 5

x - x = 5 - 3

0 = 2.

Chiaramente la nostra equazione non è mai vera e il sistema non ammette soluzioni. Quindi

S = Ø.

 

Concludiamo con il terzo sistema:

Soluzione di equazioni con due moduli

x + x - 3 = 5

2x = 5 + 3

2x = 8

x = 8/2

x = 4.

La soluzione è accettabile poiché è maggiore di 3.

Quindi, le soluzioni dell'equazione di partenza sono:

x = -1 ˅ x = 4.

 

 

 

2° caso. Equazione del tipo:

|A(x)| + |B(x)| = C(x).

Esempio:

|2x| - |3x + 1| = x.

 

Iniziamo a STUDIARE IL SEGNO delle ESPRESSIONI poste dentro ogni MODULO.

Quindi: 

2x 0    da cui otteniamo   x 0

3x + 1 0   da cui otteniamo   3x -1 ovvero  x -1/3.

 

 

Ora passiamo a RIPORTARE i RISULTATI ottenuti sul GRAFICO:

Soluzione di equazioni con due moduli

 

Quindi andiamo a SCRIVERE I SISTEMI che ci permetteranno di risolvere l'equazione:

  • quando x è minore di -1/3, entrambe le espressioni presenti nei moduli sono negative. Quindi dobbiamo risolvere il sistema

Soluzione di equazioni con due moduli

-2x + 3x + 1 = x

-2x + 3x - x = -1

-3x + 3x = -1

0 = -1.

L'equazione non è mai verificata. Quindi

S = Ø

 

  • quando la x è compresa tra -1/6 e 0 , l'espressione 3x + 1 è positiva, mentre l'espressione 2x è negativa. Quindi dobbiamo risolvere il sistema

Soluzione di equazioni con due moduli

-2x - 3x - 1 = x

-2x - 3x - x = + 1

-6x = + 1

x = - 1/6.

La soluzione è accettabile perché è compresa nell'intervallo definito dalla disequazione presente nel sistema;

 

  • quando la x è maggiore di 0 entrambe le espressioni sono positive. Quindi dobbiamo risolvere il sistema

Soluzione di equazioni con due moduli

2x - 3x - 1 = x

2x - 3x - x = 1

-2x = 1 

 x = -1/2.

La soluzione non è accettabile poiché non è maggiore o uguale a zero. Quindi

S = Ø.

 

 

La soluzione della nostra equazione di partenza quindi è

x = - 1/6.

 

 

Vediamo ancora un esempio riconducibile a questo secondo caso.

Esempio:

|x - 1| + |x + 4| = 8 + x.

 

Partiamo con lo STUDIARE IL SEGNO delle ESPRESSIONI poste dentro ogni MODULO.

Quindi: 

x - 1 0   da cui otteniamo  x 1

x + 4 ≥ 0   da cui otteniamo  x ≥ - 4.

 

Ora passiamo a RIPORTARE i RISULTATI ottenuti sul GRAFICO:

Soluzione di equazioni con due moduli

 

Ora andiamo a SCRIVERE I SISTEMI che ci permetteranno di risolvere l'equazione:

  • quando x è minore di - 4 , entrambe le espressioni presenti nei moduli sono negative. Quindi dobbiamo risolvere il sistema

Soluzione di equazioni con due moduli

-x +1 - x - 4 = 8 + x

- x - x - x = 8 - 1 + 4

-3x = 11

x = -11/3.

La soluzione trovata non soddisfa la condizione che la x sia minore di -4. Quindi

S = Ø

 

 

  • quando la x è compresa tra -4 e 1, l'espressione x - 1 è positiva, mentre l'espressione x + 4 è negativa. Quindi dobbiamo risolvere il sistema

Soluzione di equazioni con due moduli

- x + 1 + x + 4 = 8 + x

- x + x - x = 8 - 1 - 4

- x = 3

x = -3.

La soluzione è accettabile perché è compresa tra - 4  e 1;

 

  • quando la x è maggiore di 1 entrambe le espressioni sono positive. Quindi dobbiamo risolvere il sistema

Soluzione di equazioni con due moduli

x - 1 + x + 4 = 8 + x

x + x - x = 8 - 4 + 1

x =5.

La soluzione è accettabile poiché 5 è maggiore di 1.

 

L'equazione di partenza ha, quindi, le seguenti soluzioni

x = -3 ˅ x = 5.

 

 

Il modo di procedere visto in questa lezione si applica anche nel caso in cui nell'equazione compaiono più di due moduli contenenti l'incognita. Nella prossima lezione vedremo un esempio riferito proprio a questo caso.

 

 

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