EQUAZIONI CON DUE MODULI

Per comprendere meglio questo argomento, leggi prima le seguenti lezioni:
 

Nella lezione precedente abbiamo visto come si risolvono EQUAZIONI nelle quali sono presenti DUE MODULI e soltanto quelli. In altre parole equazioni del tipo:

|A(x)| = |B(x)|.



E se, invece, l'equazione si dovesse presentare nella forma:

|A(x)| + |B(x)| = k

oppure

|A(x)| + |B(x)| = C(x)



come facciamo per risolverla?

Vediamolo alcuni esempi concreti attraverso i quali spiegheremo come si procede.





1° caso. Equazione del tipo:

|A(x)| + |B(x)| = k.

Esempio:

|x| + |x-3| = 5.



La prima cosa che dobbiamo fare è STUDIARE IL SEGNO delle ESPRESSIONI poste dentro ogni MODULO.

In altre parole andare a cercare:

  • quando x è positivo, negativo o nullo;
  • quando x- 3 è positivo, negativo o nullo.

Quindi:

x ≥ 0

e

x - 3 ≥ 0 da cui otteniamo x ≥ 3.



La seconda cosa da fare è RIPORTARE i RISULTATI ottenuti su un GRAFICO in modo da avere una chiara visione di insieme della situazione. Nel grafico indicheremo:

  • con una linea continua i valori delle x che rendono positiva l'espressione;
  • con una linea discontinua i valori delle x che rendono negativa l'espressione;
  • con un pallino vuoto, i valori della x che annullano l'espressione.

Soluzione di equazioni con due moduli



Ora andiamo a SCRIVERE I SISTEMI che ci permetteranno di risolvere l'equazione.

Osserviamo che possiamo dividere il grafico in tre parti:

Soluzione di equazioni con due moduli

  • quando x è minore di zero, entrambe le espressioni presenti nei moduli sono negative;
  • quando la x è compresa tra zero e 3, l'espressione x- 3 è negativa, mentre l'espressione x è positiva;
  • quando la x è maggiore di 3 entrambe le espressioni sono positive.

Questo equivale a risolvere tre sistemi:
  • quando x è minore di zero, entrambe le espressioni presenti nei moduli sono negative. Quindi si tratta di risolvere il seguente sistema:

    Soluzione di equazioni con due moduli

  • quando la x è compresa tra zero e 3, l'espressione x- 3 è negativa, mentre l'espressione x è positiva. Quindi il sistema da risolvere sarà:

    Soluzione di equazioni con due moduli

  • quando la x è maggiore di 3 entrambe le espressioni sono positive. Il sistema da risolvere sarà:

    Soluzione di equazioni con due moduli


In altre parole, i tre sistemi sono costruiti ponendo:

  • una disequazione che rappresenta la condizione;
  • una equazione che dipende dal segno.

I risultati dell'equazione sono accettabili se viene rispettata la condizione posta dalla disequazione.

Una parola in più va spesa per gli estremi degli intervalli (nel nostro caso lo 0 e il 3). Essi possono essere inclusi, indifferentemente, in un intervallo o in quello successivo: bisogna, però, fare attenzione a non includerli in entrambi.



La soluzione della nostra equazione è data dall'unione dei tre risultati ottenuti.

Procediamo:

Soluzione di equazioni con due moduli

-(x) - (x-3) = 5

- x - x + 3 = 5

-2x = 5 - 3

-2x = 2

x = -2/2

x = -1.

La soluzione è accettabile poiché è minore di zero.



Passiamo al secondo sistema:

Soluzione di equazioni con due moduli

x - x + 3 = 5

x - x = 5 - 3

0 = 2.

Chiaramente la nostra equazione non è mai vera e il sistema non ammette soluzioni. Quindi

S = Ø.



Concludiamo con il terzo sistema:

Soluzione di equazioni con due moduli

x + x - 3 = 5

2x = 5 + 3

2x = 8

x = 8/2

x = 4.

La soluzione è accettabile poiché è maggiore di 3.

Quindi, le soluzioni dell'equazione di partenza sono:

x = -1 ˅ x = 4.





2° caso. Equazione del tipo:

|A(x)| + |B(x)| = C(x).

Esempio:

|2x| - |3x + 1| = x.



Iniziamo a STUDIARE IL SEGNO delle ESPRESSIONI poste dentro ogni MODULO.

Quindi:

2x ≥ 0 da cui otteniamo x ≥ 0

3x + 1 ≥ 0 da cui otteniamo 3x ≥ -1 ovvero x ≥ -1/3.



Ora passiamo a RIPORTARE i RISULTATI ottenuti sul GRAFICO:

Soluzione di equazioni con due moduli



Quindi andiamo a SCRIVERE I SISTEMI che ci permetteranno di risolvere l'equazione:

  • quando x è minore di -1/3, entrambe le espressioni presenti nei moduli sono negative. Quindi dobbiamo risolvere il sistema

    Soluzione di equazioni con due moduli

    -2x + 3x + 1 = x

    -2x + 3x - x = -1

    -3x + 3x = -1

    0 = -1.

    L'equazione non è mai verificata. Quindi

    S = Ø

  • quando la x è compresa tra -1/6 e 0 , l'espressione 3x + 1 è positiva, mentre l'espressione 2x è negativa. Quindi dobbiamo risolvere il sistema

    Soluzione di equazioni con due moduli

    -2x - 3x - 1 = x

    -2x - 3x - x = + 1

    -6x = + 1

    x = - 1/6.

    La soluzione è accettabile perché è compresa nell'intervallo definito dalla disequazione presente nel sistema;

  • quando la x è maggiore di 0 entrambe le espressioni sono positive. Quindi dobbiamo risolvere il sistema

    Soluzione di equazioni con due moduli



    2x - 3x - 1 = x

    2x - 3x - x = 1

    -2x = 1

    x = -1/2.

    La soluzione non è accettabile poiché non è maggiore o uguale a zero. Quindi

    S = Ø.


La soluzione della nostra equazione di partenza quindi è

x = - 1/6.



Vediamo ancora un esempio riconducibile a questo secondo caso.

Esempio:

|x - 1|+ |x + 4| = 8 + x.



Partiamo con lo STUDIARE IL SEGNO delle ESPRESSIONI poste dentro ogni MODULO.

Quindi:

x - 1 ≥ 0 da cui otteniamo x ≥ 1

x + 4 ≥ 0 da cui otteniamo x ≥ - 4.



Ora passiamo a RIPORTARE i RISULTATI ottenuti sul GRAFICO:

Soluzione di equazioni con due moduli



Ora andiamo a SCRIVERE I SISTEMI che ci permetteranno di risolvere l'equazione:

  • quando x è minore di - 4 , entrambe le espressioni presenti nei moduli sono negative. Quindi dobbiamo risolvere il sistema

    Soluzione di equazioni con due moduli

    -x +1 - x - 4 = 8 + x

    - x - x - x = 8 - 1 + 4

    -3x = 11

    x = -11/3.

    La soluzione trovata non soddisfa la condizione che la x sia minore di -4. Quindi

    S = Ø

  • quando la x è compresa tra -4 e 1, l'espressione x - 1 è positiva, mentre l'espressione x + 4 è negativa. Quindi dobbiamo risolvere il sistema

    Soluzione di equazioni con due moduli

    - x + 1 + x + 4 = 8 + x

    - x + x - x = 8 - 1 - 4

    - x = 3

    x = -3.

    La soluzione è accettabile perché è compresa tra - 4 e 1;

  • quando la x è maggiore di 1 entrambe le espressioni sono positive. Quindi dobbiamo risolvere il sistema

    Soluzione di equazioni con due moduli

    x - 1 + x + 4 = 8 + x

    x + x - x = 8 - 4 + 1

    x =5.

    La soluzione è accettabile poiché 5 è maggiore di 1.


L'equazione di partenza ha, quindi, le seguenti soluzioni

x = -3 ˅ x = 5.



Il modo di procedere visto in questa lezione si applica anche nel caso in cui nell'equazione compaiono più di due moduli contenenti l'incognita. Nella prossima lezione vedremo un esempio riferito proprio a questo caso.

 
 
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