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SCOMPOSIZIONE di un POLINOMIO in FATTORI mediante i PRODOTTI NOTEVOLI

 

Per comprendere  

 

In una delle precedenti lezioni abbiamo visto come esistono alcuni  PRODOTTI di POLINOMI che assumo FORME PARTICOLARI e che prendono il nome di PRODOTTI NOTEVOLI.

Essi possono essere utili, oltre che nel rendere più semplice l'esecuzione dei prodotti di polinomi, anche nella loro SCOMPOSIZIONE

 

Parlando dei prodotti notevoli abbiamo appreso, ad esempio, che:

(a + b) (a - b) = a2 - b2.

 

Se, allora, ci troviamo di fronte al binomio

a2 - b2

sappiamo che esso può essere scomposto nel prodotto tra

(a + b) (a - b). 

 

 

Vediamo, allora, quali sono le regole di SCOMPOSIZIONE di un POLINOMIO basate sui PRODOTTI NOTEVOLI e cerchiamo di comprendere come possiamo applicarle ricorrendo a degli esempi.

 

(a + b) (a - b) 

a2 - b2

Somma di due monomi per la loro differenza

Esempi:

x2 - 4y2 = (x + 2y) (x - 2y);

a2 - x2 = (a + x) (a - x);

4a4 - 9 = 4a4 - 32 = (2a2 + 3) (2a2 - 3).

 

(a + b)2 a2 + b2 +2ab

Quadrato della somma di due monomi

Esempi:

a2 + 6a + 9 = (a + 3)2;

4a2 + 9 + 12a = (2a + 3)2;

4x2 +2xy + 1/4y2 = (2x + 1/2y)2.

 

(a - b)2 a2 + b2 -2ab

Quadrato della differenza di due monomi

Esempi:

a2 + 4 - 4a = (a - 2)2;

a2 - 2a + 1 = (a -1)2;

x6 - 2x3+ 1 = (x3 -1)2.

 

(a + b + c)2 a2 + b2 +c2 +2ab +2ac +2bc

Quadrato di un trinomio

Esempi:

a2 +b2 +4c2 +2ab +4ac +4bc  = (a +b +2c)2;

4x2 +1 +y2 -4x +4xy -2y = (2x -1 +y )2;

4x4 +z4 +9y2 + 4x2z2 +12x2y +6yz2 = (2x2 +z2 +3y)2.

 

(a + b)3 a3 + b3 + 3a2b + 3ab2

Cubo della somma di due monomi

Esempi:

x3 +6x2 +12x +8 = (x +2)3;

27a3 +27a2b +9ab2 +b3 = (3a +b)3;

1 +x6 +3x2 +3x4 = (1 +x2)3.

 

(a - b)3 a3 - b3 - 3a2b + 3ab2

Cubo della differenza di due monomi

Esempi:

8a3 -12a2 +6a -1 = (2a -1)3;

1 -x3 -3x +3x2 = (1 - x)3;

8a3 -4a2b +2/3ab2 -1/27b3 = (2a - 1/3b)3.

 

(a + b + c)3 a3 + b3 + c3 + 3a2b + 3a2c + 3b2a + 3b2c + 3c2a +3c2b +6abc

Cubo di un polinomio

Esempio:

8x3 +27y3 +z3 +36x2y +12x2z +54xy2 +27y2z +6xz2 +9yz2 +36xyz  = (2x +3y +z)3.

 

 

 

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