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EQUAZIONE dell'IPERBOLE dati il FUOCO e un PUNTO

 



Per comprendere  

 

Vediamo ora come risolvere quei problemi nei quali ci viene chiesto di scrivere l'EQUAZIONE DELL'IPERBOLE conoscendo un FUOCO e un PUNTO per il quale passa l'iperbole

 

Esempio:

scrivere l'equazione dell'iperbole riferita ai suoi assi, sapendo che il fuoco F1 ha coordinate (2;0) e che l'iperbole passa per il punto P(-2;3).

 

 

 

Innanzitutto sappiamo che 

 

F1 (2;0).

 

Quindi il fuoco si trova sull'asse delle ascisse. E, di conseguenza, la nostra iperbole ha un'equazione del tipo:

 

Equazione dell'iperbole con fuochi sull'asse delle x

 

Ora dobbiamo trovare i valori di a2 e di b2.

 

Quando l'iperbole passa per il punto 

P(-2;3)

 

essa assume i seguenti valori:

Equazione dell'iperbole dati il fuoco e un punto

 

Inoltre conosciamo il valore di c che è pari a 2 e sappiamo che, la relazione che lega a, b, e c è la seguente:

b2 = c2 - a2

ovvero

-c2 = - b2 - a2

da cui

c2 = b2 + a2.

E poiché:

c = 2

possiamo scrivere:

4 = b2 + a2.

 

Ora mettiamo a sistema questa equazione con quella dell'iperbole passante per il punto P per trovare i valori di a e di b:

Equazione dell'iperbole dati il fuoco e un punto

Poniamo

t = a2

z = b2.

 

Sostituiamo nel sistema e abbiamo:

 

Equazione dell'iperbole dati il fuoco e un punto

 

Dalla seconda equazione ricaviamo il valore di t:

Equazione dell'iperbole dati il fuoco e un punto

 

Sostituiamo, il valore di t appena trovato, nella prima equazione e andiamo a cercare il valore di  z:

Equazione dell'iperbole dati il fuoco e un punto

 

Applicando la formula risolutiva troviamo il valore di z:

 

Equazione dell'iperbole dati il fuoco e un punto

 

Poiché abbiamo posto

z = b2

avremo:

b21 = -12

b22 = 3.

 

La prima soluzione non è accettabile poiché un quadrato non potrà mai essere un valore negativo. Rimane, dunque, la seconda soluzione. La sostituiamo nelle equazione

4 = b2 + a2

4 = 3 + a2

- a2 = 3 - 4

a2 = -3 + 4

a2 = 1.

 

L'equazione della nostra iperbole, dunque, è:

Equazione dell'iperbole dati il fuoco e un punto

 

 

Riportiamo, di seguito, anche il grafico dell'iperbole:

Equazione dell'iperbole dati il fuoco e un punto

 

 

 

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