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POSIZIONE di una RETTA rispetto all'IPERBOLE

 



Per comprendere  

 

Supponiamo di avere l'IPERBOLE di equazione

Equazione canonica dell'iperbole 

e supponiamo di avere la RETTA di equazione.

y = mx + n.

 

Ora ci chiediamo se esistono dei PUNTI di INTERSEZIONE tra l'iperbole e la retta.

Per rispondere alla nostra domanda dobbiamo mettere a sistema l'equazione dell'iperbole con quella della retta e cercare quei punti, se ci sono, che sono comuni ad entrambi. Quindi avremo:

 

Punti di intersezione tra l'iperbole e la retta

 

Per risolvere il sistema è necessario sostituire l'equazione della retta in quella dell'iperbole. 

In questo modo si otterrà un'EQUAZIONE DI SECONDO GRADO ad un'incognita (la x) che si risolve applicando la formula

Formula risolutiva equazione di secondo grado

 

In questo modo si potranno verificare due situazioni diverse:

  1. l'equazione risolvente è di SECONDO GRADO. In questo caso si possono avere tre casi diversi:

Retta esterna all'iperbole La RETTA è ESTERNA rispetto all'IPERBOLE.

La retta e l'iperbole non si incontrano in nessun punto, quindi non hanno nessun punto in comune.

Questo caso si verifica quando, il sistema visto sopra, non ammette soluzioni, cioè quando il DISCRIMINANTE della formula risolutiva è negativo.

Δ < 0

 

Retta tangente all'iperbole

La RETTA è TANGENTE rispetto all'IPERBOLE

In altre parole la retta e l'iperbole hanno un solo punto in comune.

Questo caso si verifica quando, il sistema visto sopra, ammette una sola soluzione,cioè quando il DISCRIMINANTE della formula risolutiva è uguale a zero.

Δ = 0

 

In questo caso, una volta trovato il valore della x con la formula risolutiva, basta sostituirlo nell'equazione della retta per avere anche il valore della y.

I valori della x e della y trovati sono le coordinate del punto di intersezione P.

 

Retta tangente all'iperbole in due punti

La RETTA è SECANTE rispetto all'IPERBOLE in DUE PUNTI.

In altre parole la retta e l'iperbole hanno due punti in comune.

Questo caso si verifica quando, il sistema visto sopra, ammette due soluzioni, cioè quando il DISCRIMINANTE della formula risolutiva è maggiore di zero.

Δ > 0

 

In questo caso, una volta trovati i valori x1 e x2 con la formula risolutiva, basta sostituirli  nell'equazione della retta per avere anche il valore di y1 e di y2.

Le coordinate dei due punti di intersezione saranno 

P1(x1 ; y2

P2(x2 ; y2).

 

 

  1. l'equazione risolvente è di PRIMO GRADO. In questo caso vi è una sola soluzione:

Retta secante all'iperbole in un punto La RETTA è SECANTE rispetto all'IPERBOLE in UN SOLO PUNTO

In altre parole la retta e l'iperbole hanno un solo punto in comune.

La retta sarà, in questo caso, PARALLELA ad uno degli ASINTOTI.

 

 

 

 

Esempio: 

determinare i punti di intersezione, se esistono, tra la retta di equazione 

 

y = x - 3

 

e l'iperbole di equazione  

 

Equazione dell'iperbole

 

 

 

Mettiamo a sistema l'equazione dell'iperbole e quella della retta:

 

 

Ricerca dei punti di intersezioni tra retta ed iperbole

 

 

 

 

Sostituiamo la seconda equazione nella prima e risolviamo:

 

Ricerca dei punti di intersezioni tra retta ed iperbole

 

 

Andiamo a vedere il valore assunto dal discriminante della prima equazione:

 

Δ = b2- 4ac

 

Δ = (-902)- 4 · 9 · 225 = 8100 - 8100 = 0.

 

 

 

Poiché 

 

Δ = 0 

 

il sistema ammette una sola soluzione, il che significa che la retta è tangente all'iperbole.

 

Ora andiamo a cercare il punto di intersezione. Troviamo l'ascissa di tale punto

 

 

Formula risolutiva equazione di secondo grado

 

Ricerca dei punti di intersezioni tra retta ed iperbole

 

 

 

 

L'ascissa del punto da noi cercato è 5

 

Ora sostituiamo all'equazione della retta il valore di x appena trovato in modo da determinare il valore dell'ordinata:

 

 

y = x - 3

 

y = 5 - 3 

 

y = 2.

 

 

 

L'ordinata del nostro punto è 2

 

Quindi il punto di tangenza tra la retta e l'iperbole è

 

P (5; 2).  

 

 

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