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GRAFICO di una RELAZIONE

 

Per comprendere  

 

In una precedente lezione abbiamo osservato che, dati due insiemi 

A = {4, 7, 9}

B = {1, 2, 3}

 

le coppie ordinate che soddisfano la relazione "è il quadrato di" è un SOTTOINSIEME del PRODOTTO CARTESIANO di A e B.

 

Generalizzando possiamo dire che:

  • dati due insiemi A e B;

  • ed una relazione Relazione tra insiemi fra di essi;

  • l'insieme Insieme G(R) delle coppie ordinate (a, b), con a appartenente ad A e b appartenente a B, tali che a è associato a B mediante Relazione tra insiemi è un SOTTOINSIEME del PRODOTTO CARTESIANO di A e B che si chiama GRAFICO di Relazione tra insiemi.

 

In simboli scriviamo:

Grafico di una relazione

che si legge

G di erre è uguale all'insieme delle coppie ordinate a,b tali che a appartiene ad A e b appartiene a B e che a associato b mediante R.

 

Come si è detto Insieme G(R) è un SOTTOINSIEME del PRODOTTO CARTESIANO di A e B.

Ovvero:

G(R) sottoinsieme di A x B

che si legge

G di erre è sottoinsieme di A cartesiano B.

 

Di conseguenza si potrà anche avere che G(R) è un insieme vuoto oppure che G(R) coincide con il prodotto cartesiano tra A e B.

Ricordiamo, infatti, che ogni insieme ha sempre due sottoinsiemi impropri:

  • l'insieme vuoto

  • se stesso.

 

Quindi potrà accadere che:

 

G(R) è uguale all'insieme vuoto

che si legge

G di erre è uguale all'insieme vuoto

 

 

G(R) è uguale ad A cartesiano B

che si legge

G di erre è uguale ad A cartesiano B.

 

Quando si verifica che 

G(R) è uguale all'insieme vuoto

la RELAZIONE si dice VUOTA.

 

Esempio:

A = {4, 7, 9}

B = {1, 2, 3}

relazione "è il cubo di".

 

Non c'è nessun elemento di A che è il cubo di un elemento di B.

La relazione "è il cubo di" è VUOTA.

 

Vediamo, invece, un caso nel quale il grafico di una relazione è uguale al prodotto cartesiano dei due insiemi.

 

Esempio:

A = {6, 12 , 18}

B = {1, 2, 3}

relazione multiplo di".

 

Ogni elemento dell'insieme A è multiplo di ogni elemento dell'insieme B.

Quindi la relazione multiplo di" è uguale al PRODOTTO CARTESIANO.

 

Abbiamo detto che Insieme G(R) è un SOTTOINSIEME del PRODOTTO CARTESIANO di A e B

G(R) sottoinsieme di A x B

 

ma vale anche il contrario, ovvero OGNI SOTTOINSIEME di A x B può essere considerata come GRAFICO DI UNA RELAZIONE.

 

 

Infine diciamo che, DUE RELAZIONI tra due insiemi si dicono UGUALI se sono UGUALI i loro GRAFICI.

 

Esempio:

A = {1, 8, 2}

B = {10, 4, 9}

relazione multiplo di"

grafico di una relazione

relazione doppio di"

grafico di una relazione

 

 

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