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RELAZIONE tra INSIEMI

 

Per comprendere  

 

Nella lezione precedente abbiamo introdotto il concetto di RELAZIONE tra un insieme A e un insieme B.

Ora cerchiamo di comprendere meglio tale nozione.

 

Dati due insiemi NON VUOTI A e B ed una PROPOSIZIONE che riferita ad essi abbia un significato inequivocabile, 

se per OGNI COPPIA ORDINATA (a, b) con a appartenente ad A e b appartenente a B, sussiste uno ed uno solo dei seguenti fatti:

  • a è ASSOCIATO a b mediante quella proposizione;

  • a NON è ASSOCIATO a b mediante quella proposizione;

allora possiamo dire che vi è una RELAZIONE di A in B o anche RELAZIONE tra A e B.

 

In simboli diremo:

Relazione di A in B

 

Tale relazione prende anche il nome di CORRISPONDENZA di A in B.

 

L'insieme A si chiama DOMINIO della relazione.

L'insieme B si chiama CODOMINIO della relazione.

 

Se 

a appartiene ad A

e

b appartiene a B

e sono associati nella relazione b appartiene a B

possiamo scrivere:

a associato b mediante la relazione r

che si legge

a associato b mediante b appartiene a B

oppure

b appartiene a B associa a a b

o ancora

b appartiene a B fa corrispondere a a b

oppure

b appartiene a B trasforma a in b.

 

In alcuni libri di testo possiamo trovare anche 

a è nella relazione R con b

che si legge

a è nella relazione R con b

ed ha lo stesso significato di

a associato b mediante la relazione r

 

 

Quando troviamo scritto:

la coppia (a, b) verifica la relazione

possiamo dire che

la coppia (a, b) verifica la relazione

oppure che

la coppia (a, b) soddisfa la relazione.

 

In caso contrario scriveremo:

la coppia (a,b) non verifica la relazione

che si legge

la coppia (a, b) non verifica la relazione.

 

Se (a, b) verifica la relazione, cioè se:

la coppia (a, b) verifica la relazione

b è detta immagine di a mediante b appartiene a B

mentre 

a è detta controimmagine.

 

 

L'INSIEME delle IMMAGINI si chiama IMMAGINE DELLA RELAZIONE.

L'INSIEME delle CONTROIMMAGINI si chiama CONTROIMMAGINE DELLA RELAZIONE.

 

 

Torniamo all'esempio visto nella lezione precedente.

Dati i due insiemi

A = {4, 7, 9}

B = {1, 2, 3}

 

consideriamo la relazione "è il quadrato di".

Abbiamo detto:

A = dominio della relazione

B = controdominio della relazione.

 

Le coppie che soddisfano la relazione sono:

(4, 2), (9, 3).

 

L'INSIEME DELLE IMMAGINI è dato da:

{2, 3}.

 

L'INSIEME DELLE CONTROIMMAGINI è dato da:

{4, 9}.

 

 

Ora osserviamo le coppie che verificano la relazione "è il quadrato di":

(4, 2), (9,3).

 

La nostra relazione può essere espressa come l'insieme delle coppie che soddisfano tale relazione, cioè come:

{(4, 2), (9,3)}.

 

Osserviamo ora l'INSIEME PRODOTTO CARTESIANO di A e B:

A x B = {(4, 1), (4, 2), (4, 3), (7, 1), (7, 2), (7, 3), (9, 1), (9, 2), (9, 3)}.

 

Notiamo che  le coppie che verificano la relazione "è il quadrato di" costituiscono un SOTTOINSIEME del PRODOTTO CARTESIANO di A e B.

 

 

 

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