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TEOREMI sui LOGARITMI: TEOREMA della POTENZA di un logaritmo

 

 



Per comprendere  

 

Continuiamo ad esaminare i TEOREMI sui LOGARITMI ed occupiamoci del TEOREMA DELLA POTENZA dei LOGARITMI.

 

Il LOGARITMO della POTENZA di un numero positivo è uguale al PRODOTTO dell'ESPONENTE per il LOGARITMO della BASE.

 

In altre parole:

loga bn = n · loga b.

 

Vediamo perché.

Poniamo

x = loga b.

 

Per la definizione di logaritmo avremo che

ax = b.

 

Eleviamo entrambi i membri all'ennesima potenza:

(ax)n = bn.

 

Per le proprietà delle potenze, a primo membro possiamo scrivere:

axn = bn.

La definizione di logaritmo ci dice che se

ax = b

allora

x = loga b.

Quindi nel nostro caso 

axn = bn

lo possiamo scrivere come

xn = loga bn .

 

Noi, all'inizio di questa dimostrazione, avevamo posto

x = loga b.

Andiamo allora a sostituire ad x il logaritmo in base a di b e avremo:

loga b = loga bn .

 

Rispetto a come abbiamo scritto inizialmente la proprietà, abbiamo solamente invertito i membri.

 

Vediamo qualche esempio di applicazione del teorema della potenza.

Esempio:

log2 16 = log2 42 = 2 log2 4 = 4.

 

Ovviamente possiamo utilizzare il teorema della potenza in modo inverso.

Esempio:

log2 83 = 3 log2 8 =3 · 3 = 9.

 

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