TEROREMI SUI LOGARITMI: TEOREMA DELLA POTENZA DI UN LOGARITMO
- I logaritmi: definizione
- Proprietà delle potenze
- Teoremi sui logaritmi: teorema sul rapporto di logaritmi
- Teoremi sui logaritmi: teorema della potenza di un logaritmo
- Teoremi sui logaritmi: teorema della radice di un logaritmo
- Teoremi sui logaritmi
- Sistemi di logaritmi
- Formula del cambiamento di base dei logaritmi
- Proprietà dei logaritmi derivate dai teoremi sui logaritmi
- Proprietà dei logaritmi derivate dalla formula di cambiamento di basi e dai teoremi sui logaritmi
- Tabella delle proprietà e dei teoremi dei logaritmi
- Esercizi sulle proprietà dei logaritmi
Continuiamo ad esaminare i TEOREMI sui LOGARITMI ed occupiamoci del TEOREMA DELLA POTENZA dei LOGARITMI.
Il LOGARITMO della POTENZA di un numero positivo è uguale al PRODOTTO dell'ESPONENTE per il LOGARITMO della BASE.
In altre parole:
loga bn = n · loga b.
Vediamo perché.
Poniamo
x = loga b.
Per la definizione di logaritmo avremo che
ax = b.
Eleviamo entrambi i membri all'ennesima potenza:
(ax)n = bn.
Per le proprietà delle potenze, a primo membro possiamo scrivere:
axn = bn.
La definizione di logaritmo ci dice che se
ax = b
allora
x = loga b.
Quindi nel nostro caso
axn = bn
lo possiamo scrivere come
xn = logabn.
Noi, all'inizio di questa dimostrazione, avevamo posto
x = loga b.
Andiamo allora a sostituire ad x il logaritmo in base a di b e avremo:
n· loga b = loga bn.
Rispetto a come abbiamo scritto inizialmente la proprietà, abbiamo solamente invertito i membri.
Vediamo qualche esempio di applicazione del teorema della potenza.
Esempio:
log2 16 = log2 42 = 2 log2 4 = 4.
Ovviamente possiamo utilizzare il teorema della potenza in modo inverso.
Esempio:
log2 83 = 3 log2 8 =3 · 3 = 9.
