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Formula del CAMBIAMENTO di BASE dei LOGARITMI

 

 



Per comprendere  

 

Dopo aver visto, nella lezione precedente, che i SISTEMA di LOGARITMI sono INFINITI, in questa lezione cercheremo di capire come è possibile CAMBIARE la BASE di un logaritmo.

Supponiamo di avere 

loga b.

 

Esso può essere espresso come RAPPORTO tra il LOGARITMO del numero b in un'altra base, che chiameremo c, e il LOGARTIMO della BASE a nella base c. Ovvero

Formula del cambiamento di base

 

Questa formula è detta FORMULA del CAMBIAMENTO DI BASE.

Vediamo come si giunge ad essa.

Poniamo

loga b = x

che, per la definizione stessa di logaritmo, significa affermare che

ax = b.

 

Applichiamo il logaritmo in base c ad entrambi i termini. Avremo:

ax = b

logc ax = logc b.

 

Applichiamo, a primo membro, il teorema della potenza del logaritmo e possiamo scrivere:

x · logc a = logc b.

 

Dividiamo, primo e secondo membro per logc a e otteniamo

Formula del cambiamento di base- dimostrazione

 

Poiché, all'inizio, avevamo posto

loga b = x

sostituiamo nella formula precedente, alla x, il logaritmo in base a di b, ed otteniamo

Formula del cambiamento di base

 

Esempio:

vogliamo scrivere il seguente logaritmo

log3 25

nel sistema naturale, cioè in base e.

 

Prendiamo la formula del cambiamento di base

Formula del cambiamento di base

Nel nostro caso:

  • a = 3

  • b = 25

  • c = e.

Sostituiamo ed otteniamo

Formula del cambiamento di base

 

Questa formula è molto utile nel calcolo dei logaritmi. Infatti, con le calcolatrici scientifiche, possono essere calcolati il logaritmo decimale (indicato sulla calcolatrice con il simbolo log) e il logaritmo naturale (indicato sulla calcolatrice con il simbolo ln). Dovendo calcolare il logaritmo di una base diversa, sarà sufficiente applicare la formula vista in questa lezione.

Così, nell'esempio appena visto, se vogliamo calcolare il logaritmo in base 3 di 25 con la nostra calcolatrice scientifica, una volta effettuata la trasformazione mediante la formula del cambiamento di base, calcoliamo il logaritmo naturale di 25 e quello di 3 e facciamo il rapporto tra i due numeri trovati.

Infine, per completezza di esposizione, diciamo che il numero

Modulo di trasformazione

è detto MODULO DI TRASFORMAZIONE per il passaggio dal sistema di logaritmi in base a al sistema di logaritmi in base c.

Infatti, la formula precedente, può essere scritta anche come:

Formula del cambiamento di base dei logaritmi

 

 

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