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PROPRIETA' dei LOGARITMI derivate dalla formula di cambiamento di basi e dai teoremi sui logaritmi

 

 



Per comprendere  

 

Continuiamo a parlare delle PROPRIETA' dei LOGARITMI: in questa lezione ci occuperemo di una serie di proprietÓ che possono essere desunte dalla formula di cambiamento di basi e dai teoremi sui logaritmi.

 

I PROPRIETA'

ProprietÓ dei logaritmi: inversione della base

 

Dimostriamo questa proprietÓ. Partiamo da

ProprietÓ dei logaritmi

Applichiamo la formula del cambiamento di basi e trasformiamo il logaritmo in base 1/a in un logaritmo in base a:

ProprietÓ dei logaritmi

 

Ma

ProprietÓ dei logaritmi

e per il teorema della potenza di un logaritmo possiamo scrivere:

ProprietÓ dei logaritmi

 

Allo stesso modo avremo:

ProprietÓ dei logaritmi

Ma noi sappiamo che 

loga a = 1

Quindi

ProprietÓ dei logaritmi

 

Di conseguenza

ProprietÓ dei logaritmi

 

Quindi per trasformare un logaritmo in un altro logaritmo che abbia l'INVERSO della BASE del logaritmo di partenza, occorre INVERTIRE anche l'ARGOMENTO.

 

 

II PROPRIETA'

ProprietÓ dei logaritmi: inversione della base

 

Vediamo il perchÚ. Andiamo ad applicare la formula del cambiamento di basi e trasformiamo il logaritmo in base 1/a in un logaritmo in base a:

ProprietÓ dei logaritmi

 

Abbiamo giÓ visto che:

ProprietÓ dei logaritmi

quindi

ProprietÓ dei logaritmi

 

Allo stesso modo avremo:

ProprietÓ dei logaritmi

Ma noi sappiamo che 

loga a = 1

Quindi

ProprietÓ dei logaritmi

 

Di conseguenza

ProprietÓ dei logaritmi

 

Un altro modo per trasformare un logaritmo in un altro logaritmo che abbia l'INVERSO della BASE del logaritmo di partenza, Ŕ quello di CAMBIARE di SEGNO al logaritmo.

 

 

III PROPRIETA'

ProprietÓ dei logaritmi

 

Applichiamo la formula del cambiamento di basi e trasformiamo il logaritmo in base a in un logaritmo in base b:

ProprietÓ dei logaritmi

 

Ma dato che:

ProprietÓ dei logaritmi

avremo

ProprietÓ dei logaritmi

 

 

Quindi possiamo dire che per trasformare un logaritmo in un altro logaritmo in cui siano tra loro SCAMBIATE la BASE con l'ARGOMENTO, occorre porre il nuovo logaritmo a DENOMINATORE di una frazione al cui nominatore c'Ŕ l'unitÓ.

 

 

IV PROPRIETA'

ProprietÓ dei logaritmi

 

Applichiamo la formula del cambiamento di basi e trasformiamo il logaritmo in base an in un logaritmo in base a:

ProprietÓ dei logaritmi

 

Applichiamo, a numeratore e a denominatore, il teorema della potenza di logaritmi e scriviamo:

ProprietÓ dei logaritmi

 

Ricordando che

ProprietÓ dei logaritmi

 

avremo:

ProprietÓ dei logaritmi

 

 

Quindi, se abbiamo un logaritmo in cui BASE e ARGOMENTO sono due POTENZE possiamo scrivere il logaritmo come il PRODOTTO tra, una frazione che abbia a NUMERATORE l'ESPONENTE dell'ARGOMENTO e a DENOMINATORE l'ESPONENTE della BASE, e il logaritmo di partenza privato degli esponenti.

 

 

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