TEOREMI SUI LOGARITMI

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Per comprendere meglio questo argomento, leggi prima le seguenti lezioni:

• I logaritmi: definizione
• Teoremi sui logaritmi: teorema sul rapporto di logaritmi
• Teoremi sui logaritmi: teorema della potenza di un logaritmo
• Teoremi sui logaritmi: teorema della radice di un logaritmo
• Teoremi sui logaritmi
• Sistemi di logaritmi
• Formula del cambiamento di base dei logaritmi
• Proprietà dei logaritmi derivate dai teoremi sui logaritmi
• Proprietà dei logaritmi derivate dalla formula di cambiamento di basi e dai teoremi sui logaritmi
• Tabella delle proprietà e dei teoremi dei logaritmi
• Esercizi sulle proprietà dei logaritmi
• I numeri relativi

I TEOREMI DEI LOGARITMI che abbiamo visto nelle lezioni precedenti, così come li abbiamo scritti, valgono nel caso in cui b e c sono quantità POSITIVE.

Ricordiamo, di seguito, i teoremi visti:

log_a (b · c) = log_a b + log_a c

log_a (b / c) = log_a b - log_a c

log_a bⁿ = n · log_a b

Nel caso in cui b e c sono delle VARIABILI, cioè possono assumere sia valori POSITIVI che NEGATIVI, allora i quattro teoremi visti sopra, andrebbero scritti in modo diverso. Vediamo, di seguito, come.

TEOREMA DEL PRODOTTO

log_a (b · c) = log_a |b| + log_a |c|

Dato che l'argomento di un logaritmo deve essere necessariamente positivo, come abbiamo avuto modo di vedere nelle lezioni precedenti, dovrà essere che

b · c > 0.

Ma un prodotto è positivo solamente se entrambi i suoi fattori sono positivi o entrambi sono negativi. Poiché b e c non possono essere entrambi negativi dato che l'argomento di un logaritmo deve essere positivo (altrimenti non potremmo scrivere la somma a secondo membro) essi dovranno essere entrambi positivi e per questo motivo usiamo il valore assoluto.

TEOREMA DEL RAPPORTO

log_a (b / c) = log_a |b| - log_a |c|

Dato che l'argomento di un logaritmo deve essere necessariamente positivo, dovrà essere che

b/ c > 0.

Ma il rapporto di due valori è positivo solamente se numeratore e denominatore sono entrambi positivi o entrambi negativi. Poiché b e c non possono essere entrambi negativi dato che l'argomento di un logaritmo deve essere positivo, essi dovranno essere entrambi positivi.

TEOREMA DELLA POTENZA

Se l'esponente n è pari, b potrebbe essere sia positivo che negativo dato che elevando b alla ennesima potenza avremo sempre un valore positivo. Quindi dobbiamo prendere solamente il risultato positivo considerando il valore assoluto di b.

Se l'esponente n è dispari, b dovrà comunque essere positivo dato che altrimenti bⁿ non potrebbe essere l'argomento di un logaritmo, quindi non c'è bisogno di prendere il valore assoluto di b.

TEOREMA DELLA RADICE

Anche in questo caso valgono considerazioni analoghe a quelle viste per il teorema della potenza.

Lezione precedente - Lezione successiva

Indice degli argomenti su esponenziali e logaritmi

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