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ESERCIZI sulle PROPRIETA' dei LOGARITMI

 

 



Per comprendere  

 

Nelle lezioni precedenti abbiamo visto quali sono i TEOREMI e le PROPRIETA' dei LOGARITMI. Ora, in questa lezione, vogliamo vedere alcuni esercizi nei quali tali teoremi e proprietà possono essere applicati.

 

Esercizio 1:

ridurre la seguente espressione ad un unico logaritmo

log3 7 - log3 21 + 3 log3 6.

 

Per cominciare abbiamo la differenza di due logaritmi aventi la stessa base. Applichiamo il TEOREMA DEL RAPPORTO di DUE LOGARITMI secondo il quale

loga (b/c) = loga b - loga c

e scriviamo

log3 7 - log3 21 + 3 log3 6 =

= log3 (7/ 21) + 3 log3 6 =

= log3 (1/3) + 3 log3 6.

 

Ora applichiamo il TEOREMA DELLA POTENZA DI UN LOGARITMO che ci dice che

loga bn = n · loga b

e scriviamo

log3 (1/3) + 3 log3 6 =

= log3 (1/3) + log3 63 =

= log3 (1/3) + log3 216.

 

Infine applichiamo il TEOREMA DEL PRODOTTO DI DUE LOGARITMI che afferma che

loga (b · c) = loga b + loga c

e scriviamo

= log3 [1/3) · 216 ] = log3 72.

 

 

Esercizio 2:

ridurre la seguente espressione ad un unico logaritmo

log2 x2y2.

 

Applichiamo il TEOREMA DEL PRODOTTO DI DUE LOGARITMI e scriviamo

log2 x2y2 = log2 x2 + log2 y2.

 

Ora applichiamo il TEOREMA DELLA POTENZA DI UN LOGARITMO ricordando che, poiché x ed y sono delle variabili e poiché gli esponenti sono pari dobbiamo porre come condizione che gli ARGOMENTI dei due LOGARITMI siano POSITIVI prendendone i valori assoluti

= log2 x2 + log2 y2 =

= 2 log2 \x\ + 2 log2 | y|.

 

 

Esercizio 3:

applicando i teoremi sui logaritmi calcolare il valore della seguente espressione

5 log2 4 - log2 8.

 

Applichiamo il TEOREMA DELLA POTENZA DI UN LOGARITMO e scriviamo

log2 45 - log2 8.

 

Per comodità, scriviamo sia il 4 che l'8 come potenze del 2:

log2 (22)5 - log2 23

= log2 210 - log2 23.

 

 

Applichiamo il TEOREMA DELLA RAPPORTO DI DUE LOGARITMI e scriviamo

log2 (210/ 23) =

= log2 27.

 

Applichiamo il TEOREMA DELLA POTENZA DI UN LOGARITMO e abbiamo

= log2 27 =

= 7 log2 2 .

 

Ricordando che

loga a = 1

scriviamo

= 7 log2 2

= 7 ·  1 = 1 .

 

 

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