EQUAZIONE DELLA CIRCONFERENZA CONOSCENDO DUE PUNTI E CON CENTRO SU UNA RETTA DATA

Per comprendere meglio questo argomento, leggi prima le seguenti lezioni:
 

In questa lezione vogliamo capire come possiamo risolvere problemi nei quali ci viene chiesto di scrivere l'EQUAZIONE della CIRCONFERENZA:

  • conoscendo DUE PUNTI per i quali essa passa;
  • sapendo che il CENTRO si trova su una RETTA di cui conosciamo l'equazione.

Immaginiamo che la nostra circonferenza passi per i punti

P1 (x1; y1)

P2 (x2; y2)



e che il centro si trovi sulla retta di equazione

ax + by + c = 0.



Come sappiamo l'equazione della circonferenza è

x2 + y2 + ax + by + c = 0.

Per poterla scrivere noi dobbiamo conoscere il valore dei parametri a, b e c.



Quando la nostra circonferenza passa per il punto P1 essa assume i seguenti valori:

x12 + y12 + ax1 + by1 + c = 0.



Quando la nostra circonferenza passa per il punto P2 essa assume i seguenti valori:

x22 + y22 + ax2 + by2 + c = 0.



Ora dobbiamo scrivere una terza equazione da poter mettere a sistema con le altre due per trovare i valori di a, b e c.

Essa la otteniamo sapendo che il centro si trova sulla retta

ax + by + c = 0.



Infatti, il centro ha coordinate C(α ; β).

Ma noi abbiamo visto, in una precedente lezione che,

-2α = a

-2β = b

in altre parole, quindi

2α = -a

α = -1/2a

2β = -b

β = -b/2.



LA LEZIONE PROSEGUE SOTTO LA PUBBLICITA'

Quindi possiamo dire che il centro ha coordinate C(-a/2 ; -b/2).

Quando la retta passa per il punto C essa avrà equazione:

a · (-a/2) + b · (-b/2) + c = 0.



A questo punto si tratterà di mettere a sistema le tre equazioni e trovare i valori di a, b e c in modo da sostituirli all'equazione generale della circonferenza.



Vediamo un caso pratico.

Esempio:

scrivere l'equazione della circonferenza passante per i punti A(1; 2) e B(3; 5), sapendo che il centro C si trova sulla retta x - 2 y + 3 = 0.



Partiamo dall'equazione della circonferenza

x2 + y2 + ax + by + c = 0.



Quando la nostra circonferenza passa per il punto A essa assume i seguenti valori:

12 + 22 + a + 2b + c = 0

1 + 4 + a + 2b + c = 0

a + 2b + c + 5 = 0.



Quando la nostra circonferenza passa per il punto B essa assume i seguenti valori:

32 + 52 + 3a + 5b + c = 0

9 + 25 + 3a + 5b + c = 0

3a + 5b + c + 34 = 0.



Noi sappiamo che il centro ha coordinate

C(-a/2; -b/2).

E che esso si trova sulla retta di equazione

x - 2y + 3 = 0.

Quando questa retta passa per il punto C avrà coordinate

-a/2 - 2 · (-b/2) + 3 = 0

-a/2 + b + 3 = 0.



Ora poniamo a sistema le tre equazioni:


Scrivere l'equazione della circonferenza conoscendo due punti e l'equazione della retta su cui si trova il centro



Lasciamo a voi la soluzione di questo sistema. Vi diciamo che i valori cercati sono:

a = 28/5

b = - 67/5

c = 81/5.



Quindi, l'equazione della nostra circonferenza è:

x2 + y2 + (28/5) x + (-67/5) y + 81/5 = 0.

 
 
 
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