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Equazione della CIRCONFERENZA passante per TRE PUNTI

 



Per comprendere  

 

In questa lezione vogliamo porci il problema di scrivere l'EQUAZIONE DELLA CIRCONFERENZA quando conosciamo TRE PUNTI per i quali essa passa:

P1 (x1; y1)

P2 (x2; y2)

P3 (x3; y3).

 

 

Scrivere l'equazione della circonferenza passante per tre punti

 

Noi sappiamo che l'equazione della circonferenza, nella sua forma canonica, è

x2 + y2 + ax + by + c = 0.

 

Chiaramente, per poter scrivere la nostra equazione, ci servono i valori di a, b e c.

 

Quando la circonferenza passa nel punto P1 essa diventa:

x12 + y12 + ax1 + by1 + c = 0.

 

Quando la circonferenza passa nel punto P2 essa diventa:

x22 + y22 + ax2 + by2 + c = 0.

 

Quando la circonferenza passa nel punto P3 essa diventa:

x32 + y32 + ax3 + by3 + c = 0.

 

Poiché la circonferenza passa per tutti e tre i punti, per risolvere il nostro problema è sufficiente mettere a sistema le tre equazioni: in questo modo troveremo i valori di a, b e c.

Affinché il problema ammetta soluzione è necessario che i tre punti non siano tra loro allineati.

 

Vediamo come procedere con un caso concreto.

 

Esempio: 

scrivere l'equazione della circonferenza passante per i punti A(5; 3), B(7; -1), C(1; -2).

 

Partiamo dall'equazione della circonferenza

x2 + y2 + ax + by + c = 0.

 

Quando la circonferenza passa per il punto A essa diventa:

52 + 32 + 5a + 3b + c = 0.

 

Quando passa per il punto B diventa:

72 + (-1)2 + 7a  - b + c = 0.

 

Quando passa per il punto C diventa:

12 + (-2)2 + a  - 2b + c = 0.

 

Ora poniamo a sistema le tre equazioni:

Equazione della circonferenza passante per tre punti

Risolviamo il sistema:

 

Equazione della circonferenza passante per tre punti

 

Dalla prima equazione cerchiamo il valore di c e lo sostituiamo nella seconda e nella terza equazione:

Equazione della circonferenza passante per tre punti

 

Dalla seconda equazione cerchiamo il valore di a e lo sostituiamo nella prima e nella seconda equazione:

 

Equazione della circonferenza passante per tre punti

 

Ora sostituiamo il valore di b, trovato nella terza equazione, nella prima e nella seconda equazione:

Equazione della circonferenza passante per tre punti

 

Quindi, l'equazione della nostra circonferenza è:

x2 + y2 - 98/13x  + 3/13y + 3 = 0.

 

 

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