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Equazione della CIRCONFERENZA conoscendo gli estremi del DIAMETRO

 



Per comprendere  

 

In questa lezione vogliamo capire come possiamo trovare l'EQUAZIONE DELLA CIRCONFERENZA quando conosciamo gli ESTREMI del suo DIAMETRO.

Immaginiamo che una circonferenza abbia come estremi del diametro i punti 

A (x1; y1)

B (x2; y2).

 

 

Scrivere l'equazione della circonferenza conoscendo gli estermi del diametro

 

In altre parole, noi conosciamo le coordinate di A e le coordinate di B.

Come possiamo notare facilmente, dal grafico riportato sopra, il CENTRO C non è altro che il PUNTO MEDIO del SEGMENTO AB.

Quindi dobbiamo trovare il segmento AB, in altre parole la distanza tra due punti, usando la formula

 

Distanza tra due punti

 

Successivamente possiamo trovare il suo punto medio usando la formula

 

Coordinate del punto medio

 

In questo modo avremo trovato le coordinate del centro C.

 

Inoltre il RAGGIO non è altro che la metà del diametro.

Quindi possiamo trovare il raggio dividendo il segmento AB per 2.

A questo punto ci troveremo a risolvere un problema nel quale dobbiamo scrivere l'EQUAZIONE della CIRCONFERENZA conoscendo il RAGGIO ed il CENTRO e basterà applicare la formula

(x - α)2 + (y - β)2 = r2.

 

Vediamo come procedere con un caso concreto.

 

Esempio: 

scrivere l'equazione della circonferenza sapendo che un suo diametro ha per estremi i punti A(-1; 0) e B(3; 4).

 

Iniziamo col trovare il diametro della circonferenza, cioè la distanza tra  AB.

Distanza tra due punti

 

Diametro della circonferenza

 

 

Ora cerchiamo le coordinate del centro, cioè il punto medio di A e B:

 

Centro della circonferenza

Centro della circonferenza

C (1; 2).

 

Il raggio della circonferenza è pari a:

r = 5,66 : 2 = 2,83.

 

Quindi scriviamo l'equazione della circonferenza applicando la formula

(x - α)2 + (y - β)2 = r2.

 

Noi sappiamo che

α = 1

β = 2

r = 2,83.

 

Quindi avremo:

(x - 1)2 + (y - 2)2 = 2,832

x2 + 1 - 2x + y2 + 4 - 4y = 8

x2 + y2 - 2x - 4y - 3 = 0.

 

 

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