PROPRIETA' INVARIANTIVA DEI RADICALI

Per comprendere meglio questo argomento, leggi prima le seguenti lezioni:
 

Dato un radicale di indice n, il cui radicando è una potenza am, tale che a sia un numero reale POSITIVO o NULLO, il suo valore non cambia se MOLTIPLICHIAMO:

  • l'INDICE n del radicale;
  • e l'ESPONENTE m del radicando;

per uno stesso numero naturale p, DIVERSO DA ZERO.



In altre parole possiamo scrivere:

Proprietà invariantiva dei radicali

che si legge

la radice di indice n di a elevato ad m

è uguale

alla radice di indice n per p di a elevato ad m per p

con

a maggiore o uguale a zero

m, n e p appartenenti ad enne asterisco (ovvero all'insieme dei numeri naturali escluso lo zero).



Per la validità della proprietà invariantiva dei radicali, abbiamo posto come condizione che

a ≥ 0.



Questo perché, se a è minore di zero, la proprietà invariantiva potrebbe non sempre essere valida.



Iniziamo col dimostrare la PROPRIETA' INVARIANTIVA DEI RADICALI.

Partiamo da una premessa

Proprietà invariantiva dei radicali

che si legge

x uguale y equivale logicamente a x elevato ad n uguale ad y elevato ad n

per qualunque n appartenente ad enne asterisco (ovvero l'insieme dei numeri naturali escluso lo zero).



Partiamo dalla relazione appena scritta, ovvero:

Proprietà invariantiva dei radicali



Eleviamo, primo e secondo membro a np:

Proprietà invariantiva dei radicali



Applicando, a primo membro, la PROPRIETA' di una POTENZA DI POTENZA, possiamo scrivere:

Proprietà invariantiva dei radicali



Dato che la PRIMA PROPRIETA' FONDAMENTALE DEI RADICALI ci dice che

Prima prorietà fondamentale dei radicali

possiamo scrivere:

Proprietà invariantiva dei radicali



Applicando a primo membro, ancora una volta la proprietà di una potenza di potenza, abbiamo:

Proprietà invariantiva dei radicali



Da cui

Proprietà invariantiva dei radicali



Una volta dimostrata la proprietà invariantiva dei radicali, vediamo come possiamo usarla.

Supponiamo di voler trasformare un radicale quadratico in un radicale di indice sei. Ad esempio:

Proprietà invariantiva dei radicali



Oppure immaginiamo di voler trasformare un radicale cubico in un radicale di indice ventisette. Ad esempio:

Proprietà invariantiva dei radicali



Ora facciamo una precisazione. Abbiamo detto che, affinché la proprietà invariantiva dei radicali valga è necessario che

a ≥ 0.



Quindi, ad esempio, non potremmo trasformare il radicale

Proprietà invariantiva dei radicali

in un radicale di indice 6, dato che -5 è un numero negativo. Sappiamo, però, che essendo un radicale di indice dispari, possiamo scriverlo anche nel modo seguente:

Proprietà invariantiva dei radicali

A questo punto, essendo il radicando positivo, possiamo applicare la proprietà invariantiva e trasformare il nostro radicale in un radicale di indice 6:

Proprietà invariantiva dei radicali

 
 
 
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