RADICALI QUADRATICI

Per comprendere meglio questo argomento, leggi prima le seguenti lezioni:
 

Come abbiamo appreso in una delle precedenti lezioni, si chiama RADICE QUADRATA di un NUMERO REALE a POSITIVO O NULLO, il NUMERO REALE b, anch'esso POSITIVO O NULLO, tale che il QUADRATO di b è UGUALE ad a.

In altre parole

Definizione di radice quadrata

che si legge

radice quadrata di a uguale b

equivale logicamente a

b al quadrato uguale a

con

a maggiore o uguale a zero

e

b maggiore o uguale a zero.



Notiamo che abbiamo posto due condizioni:

a ≥ 0

e

b ≥ 0.



Cerchiamo di capirne il motivo partendo dalla prima condizione posta:

a ≥ 0.



Abbiamo detto che il RADICANDO a deve essere POSITIVO o NULLO. Supponiamo di voler trovare la radice quadrata di un numero negativo, ad esempio

Radice quadrata di -9

In altre parole si tratta di trovare un numero b che, elevato al quadrato, dia -9. Ma questo è impossibile poiché noi sappiamo che il quadrato di un numero, sia esso positivo che negativo, è sempre un numero positivo. Quindi, la RADICE QUADRATA di un NUMERO NEGATIVO, NON ESISTE.

Quindi possiamo dire che

Radice quadrata di -9

è un'espressione priva di significato o non definita.



Vediamo ora cosa accade se:

a = 0.

La RADICE QUADRATA di ZERO è uguale a ZERO. Quindi:

Radice quadrata di zero uguale a zero



Passiamo ad esaminare la seconda condizione:

b ≥ 0.

Immaginiamo di voler determinare la radice quadrata di un numero positivo. Esempio:

Radice quadrata di nove

Esistono due numeri che elevati al quadrato danno come risultato 9. Infatti:

(+3)2 = +9

(-3)2 = +9.

Ora, se accettassimo entrambe le soluzioni, non sapremmo quale dei due risultati scegliere come soluzione. Inoltre, per la proprietà transitiva dell'uguaglianza dovremmo concludere che:

+3 = -3.

Quindi, al fine di evitare il sorgere di equivoci, per convenzione, si sceglie come radice di un numero positivo, un numero anch'esso positivo. Nel nostro esempio:

Radice quadrata di nove uguale +3

Avremo, invece che

b = 0

quando

a = 0

dato che

Radice quadrata di zero uguale a zero

Infine, osserviamo che la RADICE QUADRATA di un NUMERO REALE POSITIVO ESISTE SEMPRE. Essa sarà:

  • un numero reale positivo RAZIONALE, cioè un numero che può essere rappresentato da una FRAZIONE, nel caso in cui a è il quadrato di un numero razionale;

    Esempi:

    Radice quadrata di numeri reali positivi

  • un numero reale positivo IRRAZIONALE, cioè un numero che può essere rappresentato da un numero DECIMALE ILLIMITATO in quanto ha una rappresentazione decimale infinita e non periodica, nel caso in cui a non è il quadrato di un numero razionale

    Esempio:

    Radice quadrata di numeri reali positivi


 
Per approfondire questo argomento, leggi:
 
 
 
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