IPERBOLE CON FUOCHI SULL'ASSE DELLE Y

Per comprendere meglio questo argomento, leggi prima le seguenti lezioni:
 

Nelle precedenti lezioni ci siamo occupati dell'iperbole con fuochi sull'asse delle x.

Ora andremo ad esaminare il caso in cui l'IPERBOLE ha i FUOCHI sull'ASSE DELLE y.

In questo caso la nostra iperbole si presenta così:

Iperbole con fuochi sull'asse delle y



Come possiamo notare, nella nostra IPERBOLE:

  • l'ORIGINE degli ASSI è anche il PUNTO MEDIO dei FUOCHI;
  • l'ASSE delle ORDINATE è la RETTA CHE CONGIUNGE i FUOCHI.

Ipotizziamo che i due fuochi abbiano le seguenti coordinate:

F1 (0; -c)

F2 (0; c).



Supponiamo, inoltre, che il generico punto P appartenente all'iperbole abbia coordinate

P (x; y).



Noi sappiamo che, affinché P sia un punto dell'IPERBOLE, si deve verificare la condizione:

| PF1 -PF2 | = costante.

Chiamiamo la nostra costante con 2b. Quindi possiamo scrivere:

| PF1 -PF2 | = 2b.



Ricordiamo che la distanza tra due punti è:

Distanza tra due punti



Sostituendo le coordinate dei punti P e F1 possiamo dire che la distanza PF1 è data da:

Distanza PF1



Sostituendo le coordinate dei punti P e F2 possiamo dire che la distanza PF2 è data da:

Distanza PF2



Quindi, la condizione

| PF1 -PF2 | = 2b

può essere scritta nel modo seguente

Equazione dell'iperbole

che equivale a scrivere

Equazione dell'iperbole



Isoliamo la prima radice a primo membro, portando la seconda radice a secondo membro e cambiandole di segno:

Equazione dell'iperbole



Eleviamo al quadrato primo e secondo membro ed otteniamo:

Equazione dell'iperbole

Osserviamo che ±2b elevato al quadrato, diventa +4b2 dato che un numero sia esso positivo che negativo, elevato al quadrato, diventa sempre positivo.



Semplifichiamo:

Equazione dell'iperbole

ed otteniamo

Equazione dell'iperbole



Ora isoliamo la radice a secondo membro:

Equazione dell'iperbole

e sommiamo i termini simili:

Equazione dell'iperbole

Equazione dell'iperbole



Dividiamo primo e secondo membro per 4:

Equazione dell'iperbole



Eleviamo, ancora, primo e secondo membro al quadrato:

Equazione dell'iperbole

Anche in questo caso, quando eleviamo ±b al quadrato otteniamo un numero positivo.



Ora ordiniamo un po' i nostri valori:

Equazione dell'iperbole



Ora, tra i primi due termini del primo membro mettiamo in evidenza la y2, mentre a secondo membro mettiamo in evidenza b2. Avremo:

Equazione dell'iperbole



Quindi poniamo

b2 = c2 - a2

da cui otteniamo

a2 = c2 - b2.



Come abbiamo già avuto modo di dire, esiste sempre un valore di b appartenente all'insieme dei reali positivi R+ tali che

b2 = c2 - a2.

Sulla spiegazione del perché di tale affermazione si veda quanto abbiamo già detto nella seconda lezione.



Quindi effettuiamo la nostra sostituzione e avremo:

Equazione dell'iperbole

Equazione dell'iperbole



Dividiamo entrambi i membri per a2b2 in modo da avere:

Equazione dell'iperbole



Ora cambiamo di segno a primo e secondo membro e otteniamo:

Equazione dell'iperbole



Quella che abbiamo scritto è l'EQUAZIONE dell'IPERBOLE con i FUOCHI sull'ASSE DELLE ORDINATE e CENTRO DI SIMMETRIA nell'ORIGINE DEGLI ASSI.



Quindi possiamo dire che:

Equazione dell'iperbole



è l'equazione dell'iperbole con centro di simmetria nell'origine degli assi e:

  • fuochi sull'asse delle x, quando nell'equazione abbiamo +1;
  • fuochi sull'asse delle y, quando nell'equazione abbiamo -1.

 
 
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