DOMINIO DI UNA FUNZIONE ALGEBRICA IRRAZIONALE FRATTA

Per comprendere meglio questo argomento, leggi prima le seguenti lezioni:
 

Una FUNZIONE IRRAZIONALE FRATTA è una funzione nella quale:

  • la variabile indipendente x si trova sotto il segno di radice. Per questa ragione essa è detta IRRAZIONALE;
  • la variabile indipendente x si trova al denominatore di una frazione. Per questa ragione essa è detta FRATTA.

In altre parole una FUNZIONE IRRAZIONALE FRATTA è una funzione del tipo

Funione irrazionale fratta

che si legge

y è uguale alla radice ennesima di P con x fratto P primo con x.



Anche in questo caso, come nel caso delle funzioni irrazionali intere, il CAMPO DI ESISTENZA dipende dal valore assunto dall'INDICE DELLA RADICE. Ma, in questo caso, a differenza di quanto accade per le funzioni irrazionali intere, occorre anche porre come condizione che il DENOMINATORE della frazione NON SIA NULLO dato che una frazione che ha al denominatore lo zero è priva di significato.



Quindi, se n è DISPARI, dato che possiamo sempre estrarre la radice di x il campo di esistenza è dato da tutti i valori di x appartenenti all'insieme dei numeri reali eccetto quelli che annullano il denominatore.

Scriveremo allora:

Campo di esistenza di una funzione irrazionale fratta con indice della radice dispari

che si legge

campo di esistenza uguale a qualunque x appartenente ad R meno l'insieme delle x tali che P primo con x è uguale a zero.



Se n è PARI possiamo estrarre la radice di P(x)/P'(x) solamente se il radicando è positivo o uguale a zero e se, al tempo stesso, il denominatore P'(x) è diverso da zero.

Scriveremo allora:

Campo di esistenza di una funzione irrazionale fratta con indice della radice pari

che si legge

campo di esistenza uguale a qualunque x appartenente ad R tale che P con x fratto P primo con x è maggiore o uguale a zero e P primo con x è diverso da zero.



Esempio 1:

funzione irrazionale fratta



La funzione è irrazionale fratta dato che la x compare sotto il segno di radice e al denominatore della frazione.

Andiamo, allora, ad osservare l'indice della radice. Esso è dispari, infatti

n = 3.

Quindi il campo di esistenza è dato dall'insieme di tutti i numeri reali eccetto quelli che annullano il denominatore. Poniamo allora:

x meno 1 diverso da zero

risolviamo e abbiamo

x diverso da 1



Quindi possiamo dire che:

Campo di esistenza di una funzione irrazionale fratta

che si legge

campo di esistenza uguale a qualunque x appartenente ad R tale che x è diverso da uno.



Esempio 2:

funzione irrazionale fratta

La funzione è irrazionale fratta dato che la x compare sotto il segno di radice e al denominatore della frazione.

Per trovare il campo di esistenza dobbiamo esaminare l'indice della radice. Esso è pari, infatti

n = 2.

Quindi dobbiamo porre come prima condizione che la frazione sia maggiore o uguale a zero. Ovvero

campo di esistenza di una funzione irrazionale fratta

Dallo studio delle disequazioni sappiamo che per risolvere questa disequazione dobbiamo impostare il sistema:

dominio di una funzione irrazionale fratta

da cui otteniamo:

dominio di una funzione irrazionale fratta



Cerchiamo ora le soluzioni che rendono positiva o nulla la frazione. Esse sono date da:

Campo di esistenza frazione irrazionale fratta



Quindi la nostra frazione è positiva quando:

campo di esistenza di una funzione irrazionale fratta



Però, dato che la funzione è fratta, per trovare il suo campo di esistenza dobbiamo escludere i valori di x che annullano il denominatore. Quindi dovrà essere:

campo di esistenza di una funzione irrazionale fratta

Ovvero:

campo di esistenza di una funzione irrazionale fratta



Quindi possiamo scrivere

Campo di esistenza di una funzione irrazionale fratta

che si legge

campo di esistenza uguale all'intervallo aperto che va da meno infinito a meno otto oppure all'intervallo aperto che va da più due a più infinito.



Ricordiamo che questo

Simbolo di unione

è il simbolo di unione di due insiemi.

 
 
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