DISEQUAZIONI FRATTE

Per comprendere meglio questo argomento, leggi prima le seguenti lezioni:
 

Nelle lezioni precedenti abbiamo visto come si risolvono le DISEQUAZIONI INTERE, cioè quelle disequazioni che NON CONTENGONO l'INCOGNITA a DENOMINATORE della FRAZIONE.



In questa lezione, invece, ci occuperemo della soluzione delle DISEQUAZIONI FRATTE o frazionarie, cioè di quelle disequazioni che contengono l'INCOGNITA a DENOMINATORE della frazione.



Qualunque sia il tipo di disequazione frazionaria essa è sempre riconducibile al RAPPORTO tra DUE POLINOMI del tipo:

Disequazioni frazionarie



Ovviamente, al posto del simbolo minore e maggiore, ci potranno essere i simboli minore uguale e maggiore uguale.

Per risolvere questo tipo di disequazione dobbiamo:

  • ESCLUDERE, dalle possibili soluzioni, quei VALORI che ANNULLANO IL DENOMINATORE così come si è visto per le equazioni fratte. Infatti, se la disequazione avesse valore zero a denominatore perderebbe di significato. Si tratta, in altre parole, di cercare il campo di esistenza della frazione;
  • STUDIARE il SEGNO DEL NUMERATORE e il SEGNO DEL DENOMINATORE separatamente e, successivamente, il SEGNO DELLA FRAZIONE. Per fare ciò andiamo a studiare:
    • quando il numeratore è positivo;
    • quando il denominatore è positivo;
    • quando, dividendo il numeratore per il denominatore, otteniamo valori positivi e quando negativi.

Vediamo come fare con un esempio concreto.

Supponiamo di dover risolvere la seguente disequazione:

Disequazioni fratte

Partiamo stabilendo il campo di esistenza della frazione. I valori che annullano il denominatore sono tutti quelli per cui

x - 1 = 0

ovvero

x = 1.



Quindi, il campo di esistenza della frazione è

x ≠ 1.



Passiamo a studiare il segno del numeratore e del denominatore.

NUMERATORE:

x + 1 > 0

x > -1



DENOMINATORE:

x - 1 > 0

x > +1



Rappresentiamo graficamente il risultato del numeratore e del denominatore:

Disequazioni fratte



Ricordiamo che:

  • la LINEA CONTINUA indica i valori che SODDISFANO la disequazione;
  • la LINEA TRATTEGGIATA indica i valori che NON SODDISFANO la disequazione;
  • il CERCHIETTO PIENO indica che il valore è COMPRESO nelle soluzioni della disequazione;
  • il CERCHIETTO VUOTO indica che il valore NON è COMPRESO nelle soluzioni della disequazione.

Ora studiamo il segno della frazione. Per la REGOLA dei SEGNI sappiamo che un QUOZIENTE è POSITIVO quando:

  • ENTRAMBI I TERMINI della divisione sono POSITIVI;
  • o
  • ENTRAMBI I TERMINI della divisione sono NEGATIVI.

Quindi la nostra disequazione avrà i seguenti segni:

Disequazioni fratte



Abbiamo contraddistinto le varie parti del grafico con colori diversi per rendere più chiara la spiegazione.

La parte del grafico contraddistinta dal colore giallo, rappresenta l'intervallo compreso tra +1 (escluso) e più infinito. In questo intervallo sia il numeratore che il denominatore sono positivi e dunque, il loro QUOZIENTE è POSITIVO.

La parte del grafico contraddistinta dal colore azzurro, rappresenta l'intervallo compreso tra +1 (compreso) e -1 (escluso). In questo intervallo uno dei termini della frazione è positivo e l'altro è negativo. Quindi il QUOZIENTE è NEGATIVO.

La parte del grafico contraddistinta dal colore verde, rappresenta l'intervallo compreso tra meno infinito e -1 (compreso). In questo intervallo sia il numeratore che il denominatore sono negativi e dunque, il loro QUOZIENTE è POSITIVO.



Poiché noi dobbiamo cercare i valori della x che rendono negativa la nostra disequazione possiamo dire che ciò accade quando

-1 < x ≤ +1

x compreso tra -1 e +1, quest'ultimo incluso.



Però, la condizione di esistenza della frazione ci diceva che x deve essere diverso da +1 altrimenti il denominatore si annulla. Quindi, dal risultato troviamo dobbiamo escludere +1. La nostra soluzione, quindi, sarà:

-1 < x < +1.



Vediamo un altro esempio:



Disequazioni fratte



Iniziamo con lo stabilire il campo di esistenza della frazione. I valori che annullano il denominatore sono tutti quelli per cui

2x - 8 = 0

ovvero

2x = 8

x = 8/ 2

x = 4.



Quindi, il campo di esistenza della frazione è

x ≠ 4.



Passiamo a studiare il segno del numeratore e del denominatore.

NUMERATORE:

3x + 6 > 0

3x > - 6

x > - 6/3

x > 2



DENOMINATORE:

2x - 8 > 0

2x > 8

x > 8/2

x > 4.



Rappresentiamo graficamente il risultato del numeratore e del denominatore:

Disequazioni fratte



Ora studiamo il segno della frazione. Per la REGOLA dei SEGNI sappiamo che un QUOZIENTE è POSITIVO quando:

  • ENTRAMBI I TERMINI della divisione sono POSITIVI;
  • o
  • ENTRAMBI I TERMINI della divisione sono NEGATIVI.

Quindi la nostra disequazione avrà i seguenti segni:

Disequazioni fratte



La parte del grafico contraddistinta dal colore giallo, rappresenta l'intervallo compreso tra +4 (escluso) e più infinito. In questo intervallo sia il numeratore che il denominatore sono positivi e dunque, il loro QUOZIENTE è POSITIVO.

La parte del grafico contraddistinta dal colore azzurro, rappresenta l'intervallo compreso tra -2 (compreso) e +4 (compreso). In questo intervallo uno dei termini della frazione è positivo e l'altro è negativo. Quindi il QUOZIENTE è NEGATIVO.

La parte del grafico contraddistinta dal colore verde, rappresenta l'intervallo compreso tra meno infinito e -2 (escluso) In questo intervallo sia il numeratore che il denominatore sono negativi e dunque, il loro QUOZIENTE è POSITIVO.



Poiché noi dobbiamo cercare i valori della x che rendono positiva la nostra disequazione possiamo dire che ciò accade quando

x < -2

e

x > +4

x minore di meno due

e

x maggiore di più quattro.



Tra i risultati trovati non compare il valore che annulla il denominatore (x = 4), quindi essi possono essere accettati.



Vediamo un ultimo esempio: esamineremo il caso nel quale, oltre al segno di minore o maggiore, abbiamo anche quello dell'uguale.

Disequazioni fratte



Iniziamo col dire che il campo di esistenza della frazione è

2x - 4 ≠ 0

2x ≠ 4

x ≠ 4/2

x ≠ 2.



Passiamo a studiare il segno del numeratore e del denominatore. Facciamo ora un'osservazione che vale ogni qualvolta dobbiamo risolvere una disequazione nella quale compare anche il segno di uguale (maggiore uguale o minore uguale). In questo caso dobbiamo andare a cercare anche i valori che rendono uguale a zero il primo membro. Ricordiamo che una frazione è uguale a zero quando il suo numeratore è uguale a zero. Pertanto, dobbiamo porre il numeratore maggiore o uguale a zero. Il denominatore, invece, va posto solamente maggiore di zero perché, se il denominatore è uguale a zero la frazione perde di significato. Quindi

NUMERATORE:

x + 1 ≥ 0

x ≥ -1

DENOMINATORE:

2x -4 > 0

2x > 4

x > 4/2

x > 2.



Rappresentiamo graficamente il risultato del numeratore e del denominatore:

Disequazioni fratte



Ricordiamo che:

  • la LINEA CONTINUA indica i valori che SODDISFANO la disequazione;
  • la LINEA TRATTEGGIATA indica i valori che NON SODDISFANO la disequazione;
  • il CERCHIETTO PIENO indica che il valore è COMPRESO nelle soluzioni della disequazione;
  • il CERCHIETTO VUOTO indica che il valore NON è COMPRESO nelle soluzioni della disequazione.

Ora studiamo il segno della frazione. Per la REGOLA dei SEGNI sappiamo che un QUOZIENTE è POSITIVO quando:

  • ENTRAMBI I TERMINI della divisione sono POSITIVI;
  • o
  • ENTRAMBI I TERMINI della divisione sono NEGATIVI.

Quindi la nostra disequazione avrà i seguenti segni:

Disequazioni fratte



La parte del grafico contraddistinta dal colore giallo, rappresenta l'intervallo compreso tra +2 e più infinito. In questo intervallo sia il numeratore che il denominatore sono positivi e dunque, il loro QUOZIENTE è POSITIVO.

In corrispondenza del valore 2 abbiamo segnato una x ad indicare che la nostra disequazione non può assumere il valore 2 perché altrimenti si annulla il denominatore e la frazione è priva di significato.

La parte del grafico contraddistinta dal colore azzurro, rappresenta l'intervallo compreso tra +2 e -1 . In questo intervallo uno dei termini della frazione è positivo e l'altro è negativo. Quindi il QUOZIENTE è NEGATIVO.

In corrispondenza del valore -1 abbiamo segnato il valore 0 ad indicare che la nostra disequazione, quando l'incognita assume il valore zero, diventa uguale a zero.

La parte del grafico contraddistinta dal colore verde, rappresenta l'intervallo compreso tra meno infinito e -1. In questo intervallo sia il numeratore che il denominatore sono negativi e dunque, il loro QUOZIENTE è POSITIVO.



Poiché noi dobbiamo cercare i valori della x che rendono positiva o uguale a zero la nostra frazione possiamo dire che ciò accade quando

x ≤ -1

x > 2.

Il 2 va escluso dalle possibili soluzioni perché annulla il denominatore, invece, -1 va compreso perché tale valore rende uguale a zero la frazione.

 
Per approfondire questo argomento, leggi:
 
 
 
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