LezioniDiMatematica.net

 

 
Torna alla Home page del sitoIscriviti alla nostra newsletter per essere informato sugli aggiornamenti del sitoContattaci       
   

   
   

 

DISEQUAZIONI FRATTE

 

Per comprendere  

 

Nelle lezioni precedenti abbiamo visto come si risolvono le DISEQUAZIONI INTERE, cioè quelle disequazioni che NON CONTENGONO l'INCOGNITA a DENOMINATORE della FRAZIONE.

 

In questa lezione, invece, ci occuperemo della soluzione delle DISEQUAZIONI FRATTE o frazionarie, cioè di quelle disequazioni che contengono l'INCOGNITA a DENOMINATORE della frazione.

 

Qualunque sia il tipo di disequazione frazionaria essa è sempre riconducibile al RAPPORTO tra DUE POLINOMI del tipo:

Disequazioni frazionarie

 

Ovviamente, al posto del simbolo minore e maggiore, ci potranno essere i simboli minore uguale e maggiore uguale.

Per risolvere questo tipo di disequazione dobbiamo:

  • STUDIARE il SEGNO DEL NUMERATORE e il SEGNO DEL DENOMINATORE separatamente e, successivamente, il SEGNO DELLA FRAZIONE. Per fare ciò andiamo a studiare:

    • quando il numeratore è positivo;

    • quando il denominatore è positivo;

    • quando, dividendo il numeratore per il denominatore, otteniamo valori positivi e quando negativi.

 

Vediamo come fare con un esempio concreto.

Supponiamo di dover risolvere la seguente disequazione:

 

Disequazioni fratte

Partiamo stabilendo il campo di esistenza della frazione. I valori che annullano il denominatore sono tutti quelli per cui

x - 1 = 0

ovvero

x = 1.

 

Quindi, il campo di esistenza della frazione è 

x 1.

 

Passiamo a studiare il segno del numeratore e del denominatore.

NUMERATORE: 

x + 1 > 0

x > -1

 

DENOMINATORE

x - 1 > 0

x > +1

 

Rappresentiamo graficamente il risultato del numeratore e del denominatore:

Disequazioni fratte

 

Ricordiamo che:

  • la LINEA CONTINUA indica i valori che SODDISFANO la disequazione;

  • la LINEA TRATTEGGIATA indica i valori che NON SODDISFANO la disequazione;

  • il CERCHIETTO PIENO indica che il valore è COMPRESO nelle soluzioni della disequazione;

  • il CERCHIETTO VUOTO indica che il valore NON è COMPRESO nelle soluzioni della disequazione.

 

Ora studiamo il segno della frazione. Per la REGOLA dei SEGNI sappiamo che un QUOZIENTE è POSITIVO quando:

  • ENTRAMBI I TERMINI della divisione sono POSITIVI;

  • o

  • ENTRAMBI I TERMINI della divisione sono NEGATIVI.

 

Quindi la nostra disequazione avrà i seguenti segni:

Disequazioni fratte

 

Abbiamo contraddistinto le varie parti del grafico con colori diversi per rendere più chiara la spiegazione.

La parte del grafico contraddistinta dal colore giallo, rappresenta l'intervallo compreso tra +1 (escluso) e più infinito. In questo intervallo sia il numeratore che il denominatore sono positivi e dunque, il loro QUOZIENTE è POSITIVO.

La parte del grafico contraddistinta dal colore azzurro, rappresenta l'intervallo compreso tra +1 (compreso) e -1 (escluso). In questo intervallo uno dei termini della frazione è positivo e l'altro è negativo. Quindi il QUOZIENTE è NEGATIVO.

La parte del grafico contraddistinta dal colore verde, rappresenta l'intervallo compreso tra meno infinito e -1 (compreso). In questo intervallo sia il numeratore che il denominatore sono negativi e dunque, il loro QUOZIENTE è POSITIVO.

 

Poiché noi dobbiamo cercare i valori della x che rendono negativa la nostra disequazione possiamo dire che ciò accade quando 

-1 < x ≤ +1

x compreso tra -1 e +1, quest'ultimo incluso.

 

Però, la condizione di esistenza della frazione ci diceva che x deve essere diverso da +1 altrimenti il denominatore si annulla. Quindi, dal risultato troviamo dobbiamo escludere +1. La nostra soluzione, quindi, sarà:

-1 < x < +1.

 

 

Vediamo un altro esempio:

 

Disequazioni fratte

 

Iniziamo con lo stabilire il campo di esistenza della frazione. I valori che annullano il denominatore sono tutti quelli per cui

2x - 8 = 0

ovvero

2x = 8

x = 8/ 2

x = 4.

 

Quindi, il campo di esistenza della frazione è 

x 4.

 

Passiamo a studiare il segno del numeratore e del denominatore.

NUMERATORE: 

3x + 6 > 0

3x > - 6

x > - 6/3

x > 2

 

DENOMINATORE

2x - 8 > 0

2x > 8

x > 8/2

x > 4.

 

Rappresentiamo graficamente il risultato del numeratore e del denominatore:

Disequazioni fratte

 

Ora studiamo il segno della frazione. Per la REGOLA dei SEGNI sappiamo che un QUOZIENTE è POSITIVO quando:

  • ENTRAMBI I TERMINI della divisione sono POSITIVI;

  • o

  • ENTRAMBI I TERMINI della divisione sono NEGATIVI.

 

Quindi la nostra disequazione avrà i seguenti segni:

Disequazioni fratte

 

La parte del grafico contraddistinta dal colore giallo, rappresenta l'intervallo compreso tra +4 (escluso) e più infinito. In questo intervallo sia il numeratore che il denominatore sono positivi e dunque, il loro QUOZIENTE è POSITIVO.

La parte del grafico contraddistinta dal colore azzurro, rappresenta l'intervallo compreso tra -2 (compreso) e +4 (compreso). In questo intervallo uno dei termini della frazione è positivo e l'altro è negativo. Quindi il QUOZIENTE è NEGATIVO.

La parte del grafico contraddistinta dal colore verde, rappresenta l'intervallo compreso tra meno infinito e -2 (escluso) In questo intervallo sia il numeratore che il denominatore sono negativi e dunque, il loro QUOZIENTE è POSITIVO.

 

Poiché noi dobbiamo cercare i valori della x che rendono positiva la nostra disequazione possiamo dire che ciò accade quando 

 x < -2

e

x > +4

x minore di meno due 

e

x maggiore di più quattro.

 

Tra i risultati trovati non compare il valore che annulla il denominatore (x = 4), quindi essi possono essere accettati.

 

Vediamo un ultimo esempio: esamineremo il caso nel quale, oltre al segno di minore o maggiore, abbiamo anche quello dell'uguale.

Disequazioni fratte

 

Iniziamo col dire che il campo di esistenza della frazione è 

2x - 4 0

2x  4

x 4/2

x 2.

 

 

 

Passiamo a studiare il segno del numeratore e del denominatore. Facciamo ora un'osservazione che vale ogni qualvolta dobbiamo risolvere una disequazione nella quale compare anche il segno di uguale (maggiore uguale o minore uguale). In questo caso dobbiamo andare a cercare anche i valori che rendono uguale a zero il primo membro. Ricordiamo che una frazione è uguale a zero quando il suo numeratore è uguale a zero. Pertanto, dobbiamo porre il numeratore maggiore o uguale a zero. Il denominatore, invece, va posto solamente maggiore di zero perché, se il denominatore è uguale a zero la frazione perde di significato. Quindi

NUMERATORE: 

x + 1 0

x -1

 

DENOMINATORE

2x -4 > 0

2x  > 4

x > 4/2

x > 2.

.

 

Rappresentiamo graficamente il risultato del numeratore e del denominatore:

Disequazioni fratte

 

Ricordiamo che:

  • la LINEA CONTINUA indica i valori che SODDISFANO la disequazione;

  • la LINEA TRATTEGGIATA indica i valori che NON SODDISFANO la disequazione;

  • il CERCHIETTO PIENO indica che il valore è COMPRESO nelle soluzioni della disequazione;

  • il CERCHIETTO VUOTO indica che il valore NON è COMPRESO nelle soluzioni della disequazione.

 

Ora studiamo il segno della frazione. Per la REGOLA dei SEGNI sappiamo che un QUOZIENTE è POSITIVO quando:

  • ENTRAMBI I TERMINI della divisione sono POSITIVI;

  • o

  • ENTRAMBI I TERMINI della divisione sono NEGATIVI.

 

Quindi la nostra disequazione avrà i seguenti segni:

Disequazioni fratte

 

La parte del grafico contraddistinta dal colore giallo, rappresenta l'intervallo compreso tra +2 e più infinito. In questo intervallo sia il numeratore che il denominatore sono positivi e dunque, il loro QUOZIENTE è POSITIVO.

In corrispondenza del valore 2 abbiamo segnato una x ad indicare che la nostra disequazione non può assumere il valore 2 perché altrimenti si annulla il denominatore e la frazione è priva di significato.

La parte del grafico contraddistinta dal colore azzurro, rappresenta l'intervallo compreso tra +2 e -1 . In questo intervallo uno dei termini della frazione è positivo e l'altro è negativo. Quindi il QUOZIENTE è NEGATIVO.

In corrispondenza del valore -1 abbiamo segnato il valore 0 ad indicare che la nostra disequazione, quando l'incognita assume il valore zero, diventa uguale a zero.

La parte del grafico contraddistinta dal colore verde, rappresenta l'intervallo compreso tra meno infinito e -1. In questo intervallo sia il numeratore che il denominatore sono negativi e dunque, il loro QUOZIENTE è POSITIVO.

 

Poiché noi dobbiamo cercare i valori della x che rendono positiva o uguale a zero la nostra frazione possiamo dire che ciò accade quando 

x ≤ -1

x > 2.

Il 2 va escluso dalle possibili soluzioni perché annulla il denominatore, invece, -1 va compreso perché tale valore rende uguale a zero la frazione.

 

 

Lezione precedente - Lezione successiva

Indice argomenti su disequazioni di primo grado

 

Per comprendere

Tutte le altre lezioni sulle disequazioni di primo grado

 

Per approfondire
 

 


Il nostro sito collabora ad una ricerca condotta dall'Università dell'Aquila e dall'Università di Pavia sulla didattica della matematica.
Ti saremmo grati se volessi dedicarci alcuni minuti rispondendo ad un breve questionario.

Compila il questionario

 
 
Lezioni, Esercitazioni e Approfondimenti di matematica e geometria

MATEMATICA:

GEOMETRIA:

GEOMETRIA ANALITICA:

 

 

 
 
www.SchedeDiGeografia.net

wwwStoriaFacile.net

www.EconomiAziendale.net

www.DirittoEconomia.net

www.LeMieScienze

www.MarchegianiOnLine.net

 

 

Il significato dei principali simboli usati in matematica e geometria
 

 

Altro materiale presente presente su LezioniDiMatematica.net
Questo sito viene aggiornato senza nessuna periodicità. Non può pertanto considerarsi un prodotto editoriale ai sensi della legge n. 62 del 7.03.2001

Il materiale presente sul sito non può essere riprodotto senza esplicito consenso dell'autore

Disclaimer-Privacy

Partita IVA: 02136250681